Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm cách đều \(d_1\) và \(d_2\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|2x-y+5\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|3x+6y-1\right|}{\sqrt{3^2+6^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|6x-3y+15\right|=\left|3x+6y-1\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-9y+16=0\\9x+3y+14=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng:

\(\left[{}\begin{matrix}9\left(x+2\right)+3\left(y-0\right)=0\\3\left(x+2\right)-9\left(y-0\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+y+6=0\\x-3y+2=0\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn

Ta có: \(x^2+y^2-2x-2y-3=0\)

=>\(x^2-2x+1+y^2-2y+1-5=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=5\)

=>Tọa độ tâm là I(1;1) và bán kính là \(R=\sqrt5\)

I(1;1); M(0;2)

\(IM=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\sqrt2\)

=>IM<R

=>M nằm trong (C)

Để dây AB nhỏ nhất thì IM⊥AB tại M

I(1:1); M(0;2)

\(\overrightarrow{IM}=\left(0-1;2-1\right)=\left(-1;1\right)\)

=>AB nhận vecto (-1;1) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường thẳng AB là:

-1(x-0)+1(y-2)=0

=>-x+y-2=0

a: vecto AB=(6;-4)

PTTS là:

x=-6+6t và y=3-4t

b: Vì (d) vuông góc AB nên (d) có VTPT là (3;-2)

Phương trình(d) là:

3(x-3)+(-2)(y-2)=0

=>3x-9-2y+4=0

=>3x-2y-5=0

a, Bán kính: \(R=2\sqrt{5}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=20\)

Giao điểm của d và (C) có tọa độ là nghiệm hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=20\\x+3y+5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3y+4\right)^2+\left(y-2\right)^2=20\\x=-3y-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10y^2+20y=0\\x=-3y-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\x=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\left(0;-5\right)\\N=\left(-2;1\right)\end{matrix}\right.\) là các giao điểm

b, Gọi H là trung điểm AB.

Đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với d nên có phương trình dạng: \(3x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(S_{IAB}=\dfrac{1}{2}.R^2.sinAIB=10.sinAIB=5\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow sinAIB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Mà tam giác ABC tù nên \(\widehat{AIB}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HBI}=30^o\)

Khi đó: 

\(IH=d\left(I;\Delta\right)\)

\(\Leftrightarrow R.sinHBI=\dfrac{\left|-3-2+m\right|}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{5}.sin30^o=\dfrac{\left|m-5\right|}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow m=5\pm5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta:3x-y+5+5\sqrt{2}=0\\\Delta:3x-y+5-5\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)