Đáp án:

a) Xét ΔMIC và ΔNIC ta có:

MI = IN (gt)

∠MIC = ∠NIC = 90 độ (gt)

IC chung

=> ΔMIC = ΔNIC

b, Chỉ đúng khi góc A = 90 độ

c) Xét ΔABM và ΔECM ta có:

BM = MC (gt)

∠BMA = ∠CME (đối đỉnh)

AM = ME (gt)

=> ΔABM = ΔECM => ∠ABM = ∠ECM (góc tướng ứng bằng nhau)

=> AB // EC (do ∠ABM = ∠ECM so le trong)

d) Xét ΔAMI và ΔCMI ta có

MI = IN (gt)

∠AIM = ∠CIN = 90 độ (gt)

AI = IC (gt)

=> ∠MAI = ∠NCI  => CK // AE

từ CK  // AE và AB // EC => AK = CE (các cặp cạnh // chắn bởi các cặp cạnh //) (1)

Xét ΔAKI và ΔECI ta có

AK = CE (1)

∠KAI = ∠CIE (so le trong)

AI = IC (gt)

=> ΔAKI = ΔECI => ∠AIK = ∠EIC

ta có: ∠AIK + ∠KIN + ∠NIC = 180 độ mà ∠AIK = ∠EIC

=>     ∠EIC + ∠KIN + ∠NIC = 180 độ => K, I, E thẳng hàng

nhưng dài lắm chịu khó nha

a) Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có 

CI chung

MI=NI(gt)

Do đó: ΔIMC=ΔINC(hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔIMC=ΔINC(cmt)

nên (hai góc tương ứng)

hay 

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔKAC vuông tại A có 

AC chung

(cmt)

Do đó: ΔBAC=ΔKAC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒CB=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: MI⊥AC(gt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: MI//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay MN//KB

Xét ΔCKB có

M là trung điểm của CB(gt)

MN//KB(cmt)

Do đó: N là trung điểm của CK(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

c) Ta có: MA=ME(gt)

mà A,M,E thẳng hàng

nên M là trung điểm của AE

Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm của đường chéo BC(gt)

M là trung điểm của đường chéo AE(cmt)

Do đó: ABEC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

hay AB//EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

d) Ta có: ABEC là hình bình hành(cmt)

nên AB=EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

mà AB=AK(ΔCBA=ΔCKA)

nên EC=AK

Ta có: AB//EC(Cmt)

nên CE//KA

Xét tứ giác AECK có 

CE//AK(cmt)

CE=AK(cmt)

Do đó: AECK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét ΔCAB có 

M là trung điểm của BC(gt)

MI//AB(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AC(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: AECK là hình bình hành(cmt)

nên Hai đường chéo AC và EK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà I là trung điểm của AC(cmt)

nên I là trung điểm của EK

hay E,I,K thẳng hàng(đpcm)

a) Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có 

CI chung

MI=NI(gt)

Do đó: ΔIMC=ΔINC(hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔIMC=ΔINC(cmt)

nên $\widehat{MCI}=\widehat{NCI}$(hai góc tương ứng)

hay $\widehat{BCA}=\widehat{KCA}$

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔKAC vuông tại A có 

AC chung

$\widehat{BCA}=\widehat{KCA}$(cmt)

Do đó: ΔBAC=ΔKAC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒CB=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: MI⊥AC(gt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: MI//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay MN//KB

Xét ΔCKB có

M là trung điểm của CB(gt)

MN//KB(cmt)

Do đó: N là trung điểm của CK(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

c) Ta có: MA=ME(gt)

mà A,M,E thẳng hàng

nên M là trung điểm của AE

Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm của đường chéo BC(gt)

M là trung điểm của đường chéo AE(cmt)

Do đó: ABEC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

hay AB//EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

d) Ta có: ABEC là hình bình hành(cmt)

nên AB=EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

mà AB=AK(ΔCBA=ΔCKA)

nên EC=AK

Ta có: AB//EC(Cmt)

nên CE//KA

Xét tứ giác AECK có 

CE//AK(cmt)

CE=AK(cmt)

Do đó: AECK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét ΔCAB có 

M là trung điểm của BC(gt)

MI//AB(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AC(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: AECK là hình bình hành(cmt)

nên Hai đường chéo AC và EK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà I là trung điểm của AC(cmt)

nên I là trung điểm của EK

hay E,I,K thẳng hàng(đpcm)

chúc bạn học tốt nha cái này mình cũng không chắc là đúng đó bạn :)

a) Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có

CI chung

MI=NI(gt)

Do đó: ΔIMC=ΔINC(hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔIMC=ΔINC(cmt)

nên \(\widehat{MCI}=\widehat{NCI}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BCA}=\widehat{KCA}\)

Xét ΔCAB vuông tại A và ΔCAK vuông tại A có 

CA chung

\(\widehat{BCA}=\widehat{KCA}\)(cmt)

Do đó: ΔCAB=ΔCAK(Cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: CA=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: CN+NK=CK(N nằm giữa C và K)

CM+MB=CB(M nằm giữa C và B)

mà CK=CB(cmt)

và CN=CM(ΔCNI=ΔCMI)

nên NK=MB

mà \(MB=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên \(NK=\dfrac{BC}{2}\)

mà BC=KC(cmt)

nên \(NK=\dfrac{CK}{2}\)

mà điểm N nằm giữa hai điểm C và K

nên N là trung điểm của CK(đpcm)

c) Xét ΔAMB và ΔEMC có

MA=ME(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAMB=ΔEMC(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{MAB}\) và \(\widehat{MEC}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

a: Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có 

CI chung

IM=IN

Do đó: ΔIMC=ΔINC

a/ Xét △IMC và △INC có:

 \(IM=IN\left(gt\right)\)

 \(\hat{MIC}=\hat{NIC}=90^o\)

 CI là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta IMC=\Delta INC\left(c.g.c\right)\)

b/ Từ câu a suy ra \(\hat{MCI}=\hat{NCI}\) hay \(\hat{BCA}=\hat{KCA}\) ⇒ CA là đường phân giác của △CBK.

+) \(CA\perp AB\) (do △ABC vuông tại A) ⇒ CA là đường cao của △CBK

⇒ △CBK cân tại C

\(\Rightarrow CB=CK\)

Mặt khác: \(MB=\dfrac{1}{2}CB=MC\) (do M là trung điểm của BC).

\(\Rightarrow CN=\dfrac{1}{2}CK=NK\) (do CN=MC, CB=CK (cmt))

⇒ N là trung điểm của CK.

c/ Xét △CME và △BMA có:

 \(CM=MB\left(gt\right)\)

 \(\hat{AMB}=\hat{CME}\) (đối đỉnh)

 \(AM=ME\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta CME=\Delta BMA\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hat{ABM}=\hat{MCE}\) (hai góc tương ứng) 

⇒ AB // CE

d/ Mình chưa nghĩ ra, khi nào nghĩ ra mình sẽ bổ sung.

a: Xét ΔCIM vuông tại I và ΔCIN vuông tại I có

CI chung

IM=IN

Do đó: ΔCIM=ΔCIN

b: ΔCIM=ΔCIN

=>\(\hat{ICM}=\hat{ICN}\) và CM=CN

Xét ΔCAK vuông tại A và ΔCAB vuông tại A có

CA chung
\(\hat{KCA}=\hat{BCA}\)

Do đó: ΔCAK=ΔCAB

=>CK=CB

=>CK=2CM

mà CM=CN

nên CK=2CN

=>N là trung điểm của CK

c: Xét ΔMAB và ΔMEC có

MA=ME

\(\hat{AMB}=\hat{EMC}\overline{}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMEC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MEC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC

a) Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có 

CI chung

MI=NI(gt)

Do đó: ΔIMC=ΔINC(hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔIMC=ΔINC(cmt)

nên \(\widehat{MCI}=\widehat{NCI}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BCA}=\widehat{KCA}\)

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔKAC vuông tại A có 

AC chung

\(\widehat{BCA}=\widehat{KCA}\)(cmt)

Do đó: ΔBAC=ΔKAC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒CB=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: MI⊥AC(gt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: MI//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay MN//KB

Xét ΔCKB có

M là trung điểm của CB(gt)

MN//KB(cmt)

Do đó: N là trung điểm của CK(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

c) Ta có: MA=ME(gt)

mà A,M,E thẳng hàng

nên M là trung điểm của AE

Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm của đường chéo BC(gt)

M là trung điểm của đường chéo AE(cmt)

Do đó: ABEC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

hay AB//EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

d) Ta có: ABEC là hình bình hành(cmt)

nên AB=EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

mà AB=AK(ΔCBA=ΔCKA)

nên EC=AK

Ta có: AB//EC(Cmt)

nên CE//KA

Xét tứ giác AECK có 

CE//AK(cmt)

CE=AK(cmt)

Do đó: AECK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét ΔCAB có 

M là trung điểm của BC(gt)

MI//AB(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AC(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: AECK là hình bình hành(cmt)

nên Hai đường chéo AC và EK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà I là trung điểm của AC(cmt)

nên I là trung điểm của EK

hay E,I,K thẳng hàng(đpcm)

a) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh).

Suy ra: $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

b) Vì $N$ là trung điểm của $AC$ và $NE\parallel BC$ nên theo định lí đường trung bình trong tam giác $ABC$:

$E$ là trung điểm của $AB$.

Do đó: $AE=\dfrac{AB}{2},\ AN=\dfrac{AC}{2}$.

Suy ra: $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac12$.

Vậy: $\triangle AEN\sim\triangle ABC$.

Suy ra: $\widehat{AEN}=\widehat{ABC}$.

Mà $NE\parallel BC$ nên: $\widehat{(EN,AB)}=\widehat{ABC}$.

Trong tam giác cân $AEN$ tại đỉnh $A$, đường nối trung điểm $N$ của $AC$ song song $BC$ nên $EN$ có cùng phương với $BC$.

Lại có: $AH\perp BC$.

Suy ra: $\boxed{EN\perp AH}$.

c) Trên tia đối của tia $NE$ lấy $K$ sao cho $NK=NE$ nên:

$N$ là trung điểm của $EK$.

Mà ở câu b), $N$ là trung điểm của $AC$.

Vậy trong tứ giác $AECK$, hai đường chéo $AC$ và $EK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra: $AECK$ là hình bình hành.

Do đó: $CK\parallel AE$.

Mà $AE\subset AB$ nên: $CK\parallel AB$.

Theo câu a), $CD\parallel AB$.

Suy ra: $CK\parallel CD$.

Hai đường thẳng này cùng đi qua $C$ nên trùng nhau.

Vậy: $\boxed{D,\ C,\ K\ \text{thẳng hàng}.}$