M đối xứng D qua AB

=>AB là đường trung trực của DM

=>AB⊥DM tại trung điểm của DM

=>AM=AD và BM=BD

F nằm trên đường trung trực của DM

=>FD=FM

N đối xứng D qua AC

=>AC là đường trung trực của DN

=>AC⊥DN tại trung điểm của DN

=>AD=AN và CD=CN

E nằm trên đường trung trực của DN

=>ED=EN

Xét ΔAMB và ΔADB có

AM=AD

BM=BD

AB chung

Do đó: ΔAMB=ΔADB

=>\(\hat{AMB}=\hat{ADB}=90^0\)

ΔAMB=ΔADB

=>\(\hat{MAB}=\hat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc MAD

=>\(\hat{MAD}=2\cdot\hat{BAD}\)

Xét ΔFMB và ΔFDB có

FM=FD

MB=DB

FB chung

Do đó: ΔFMB=ΔFDB

=>\(\hat{MFB}=\hat{DFB}\)

=>FB là phân giác của góc MFD

Xét ΔADC và ΔANC có

AD=AN

DC=NC

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔANC

=>\(\hat{ANC}=\hat{ADC}=90^0\)

ΔADC=ΔANC

=>\(\hat{DAC}=\hat{NAC}\)

=>AC là phân giác của góc DAN

=>\(\hat{DAN}=2\cdot\hat{DAC}\)

Xét ΔEDC và ΔENC có

ED=EN

DC=NC

EC chung

Do đó: ΔEDC=ΔENC

=>\(\hat{DEC}=\hat{NEC}\)

=>EC là phân giác của góc DEN

\(\hat{MAN}=\hat{MAD}+\hat{NAD}\)

\(=2\left(\hat{BAD}+\hat{DAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}\)

AM=AD

AN=AD

Do đó: AM=AN

=>ΔAMN cân tại A

=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}=\frac{180^0-\hat{MAN}}{2}=\frac{180^0-2\cdot\hat{BAC}}{2}=90^0-\hat{BAC}\)

Xét ΔAMF có \(\hat{BFM}\) là góc ngoài tại đỉnh F

nên \(\hat{BFM}=\hat{FMA}+\hat{FAM}\)

\(=90^0-\hat{BAC}+\hat{MAB}=90^0-\hat{BAC}+\hat{BAD}=90^0-\hat{BAC}+90^0-\hat{ABC}\)

\(=180^0-\left(\hat{BAC}+\hat{ABC}\right)=\hat{ACB}\)

=>\(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BFD}+\hat{AFD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)

=>AFDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)

Vì \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=\hat{ANC}=90^0\)

nên A,F,D,C,N cùng thuộc đường tròn đường kính AC
\(\hat{AFC}=90^0\)

=>CF⊥AB

Xét ΔAEN có \(\hat{NEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E

nên \(\hat{NEC}=\hat{EAN}+\hat{ENA}\)

\(=\hat{DAC}+90^0-\hat{BAC}=90^0-\hat{ACB}+90^0-\hat{BAC}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{CED}=\hat{CBA}\)

mà \(\hat{CED}+\hat{AED}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DBA}+\hat{DEA}=180^0\)

=>ABDE nội tiếp

=>\(\hat{AEB}=\hat{ADB}=90^0\)

=>BE⊥AC tại E

Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường cao

Do đó: AD,BE,CF đồng quy

a, ta có

+ M ddooid xứng với điểm D qua AB => md vuông góc vs ab(1)

+  N đối xứng với điểm D qua AC.=>dn vuông góc vs ac(2)

mà tam giác abc vuông tại a(3)

từ 1,2,3 => AEDF là hcn

Cô gợi ý nhé. 

a. Nối AM, AN ta thấy tam giác AMN cân tại A. Từ đó suy ra đc AMN = ANM và suy ra FDA = ADE.

b. Cô làm cách này nhưng dùng kt lớp 9, em thử xem còn cách khác không nhé.

Góc FDA = ADE = ANE nên FAND  là từ giác nội tiếp. Từ đó suy ra góc FAD = FND. 

Vậy suy ra góc FAE = EDC = FDB = FMB hay tứ giác MAEB nội tiếp. Suy ra góc MAB = MEB. Mà MAB = FAD.

Vậy góc MEB = FND hay BE//DN. Vậy BE là đường cao. Tương tự CF cũng là đường cao nên AD, BE, CF đồng quy.

a)AM = AN = AD

CMR: a^5 - a chia hết cho 30 với mọi số nguyên a

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a)

DEA = EAF = AFD = 90⁰

=> AEDF là hình chữ nhật

b)

D là trung điểm của BC

mà DE // AC (DE _I_ AB; AC _I_ AB)

=> E là trung điểm của AB

mà E là trung điểm của MD (M đối xứng D qua AB)

=> ADBM là hình bình hành

mà AB _I_ MD (M đối xứng D qua AB)

=> ADBM là hình thoi

c)

D là trung điểm của BC

mà DF // AB (DF _I_ AC; AB _I_ AC)

=> F là trung điểm của AC

mà F là trung điểm của ND (N đối xứng D qua AC)

=> ADCN là hình bình hành

mà AC _I_ ND (N đối xứng D qua AC)

=> ADCN là hình thoi

=> AN // BC

mà AM // BC (ADBM là hình thoi)

=> M, A, N thẳng hàng

AN = CD (ADCN là hình thoi)

AM = BD (ADBM là hình thoi)

=> CD = BD (D là trung điểm của BC)

=> AM = AN

=> M đối xứng N qua A

d)

AEDF là hình vuông

<=> AD là tia phân giác của BAC

mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A (D là trung điểm của BC)

=> Tam giác ABC vuông cân tại A