Câu 15:

Gọi $x_0$ là nghiệm chung của 2 pt thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_0^2+ax_0+1=0\\ x_0^2-x_0-a=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0(a+1)+(a+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x_0+1)(a+1)=0\)

Hiển nhiên $a\neq -1$ để 2 PT không trùng nhau. Do đó $x_0=-1$ là nghiệm chung của 2 PT

Thay vào:

$(-1)^2+a(-1)+1=0$

$\Leftrightarrow 1-a+1=0\Rightarrow a=2$

Đáp án C.

Câu 16:

D sai. Trong tam giác vuông tại $A$ là $ABC$, $\cos (90^0-\widehat{B})=\cos \widehat{C}$ và không có cơ sở để khẳng định $\cos \widehat{C}=\sin \widehat{C}$

Câu 17:

Theo tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng nhìn 1 cung thì:

$\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}=2.72^0=144^0$

Đáp án B.

Câu 18:

$\pi r^2=36\pi \Rightarrow r^2=36\Rightarrow r=6$ (cm)

Chu vi của hình tròn là:

$2r \pi =2.6\pi =12\pi$ (cm)

Đáp án B.

Câu 19:

Xét tam giác $MTA$ và $MBT$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MTA}=\widehat{MBT}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MTA\sim \triangle MBT$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MT}{MA}=\frac{MB}{MT}$

$\Rightarrow MT^2=MA.MB=16\Rightarrow MT=4$

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $MTO$:

$R=OT=\sqrt{MO^2-MT^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ 

Đáp án A.

Câu 20:

Vì $16^2+30^2=34^2\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2$ nên theo định lý Pitago đảo, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$

$S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{16.30}{2}=240$ (cm vuông)

$p_{ABC}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{16+30+34}{2}=40$ (cm)

Áp dụng công thức $S=pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thì BK đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là:

$r=\frac{240}{40}=6$ (cm)

Đáp án C.

Câu 21:

a.

\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=1\\ 2x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=1\\ 4x-2y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 3x+2y+4x-2y=7\)

\(\Leftrightarrow 7x=7\Leftrightarrow x=1\)

\(y=2x-3=2.1-3=-1\)

Vậy......

b.

\(A=\left[\frac{2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}-\frac{1}{\sqrt{a}-2}\right].\left[\frac{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}-2}+1\right]\)

\(=\frac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}.(\sqrt{a}-1+1)=\frac{-1}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}=-1\)

c.

PT có 2 nghiệm phân biệt khi mà:

$\Delta'=1-(m-3)>0\Leftrightarrow 1-m+3>0\Leftrightarrow 4>m$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2; x_1x_2=m-3$. Khi đó:

\(x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12\Leftrightarrow x_1^2-(x_1+x_2)x_2+x_1x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-x_2^2=-12\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=-6\)

\(\Rightarrow x_1=-2; x_2=4\)

\(\Rightarrow -8=x_1x_2=m-3\Leftrightarrow m=-5\) (thỏa mãn)

Câu 22:

Giả sử nhà Nam có $a$ xe. ĐK: $a\in\mathbb{N}^*$

Mỗi xe dự định chở: $\frac{36}{a}$ (tấn cam)

Thực tế: 

Có: $a+3$ xe

Mỗi xe chở: $\frac{36}{a}-1$ (tấn cam)

Ta có:

$36=(a+3)(\frac{36}{a}-1)$

$\Rightarrow a=9$ (thỏa mãn)

Vậy nhà Nam có 9 xe.

Câu 24:

\(P^2=\frac{x^2}{(y+\sqrt{2})^2}=\frac{1-y^2}{y^2+2+2\sqrt{2}y}\)

\(P^2y^2+2P^2+2\sqrt{2}P^2y=1-y^2\)

\(y^2(P^2+1)+2\sqrt{2}P^2y+(2P^2-1)=0\)

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $y$ thì:

\(\Delta'=(\sqrt{2}P^2)^2-(2P^2-1)(P^2+1)\geq 0\)

$\Leftrightarrow 1-P^2\geq 0$

$\Leftrightarrow P^2\leq 1$

$\Leftrightarrow -1\leq P\leq 1$ nên $P_{\max}=1$

Phần b ngoặc đầu tiên phải là cộng chứ ạ

bàn thị anh: \(+\frac{1}{2-\sqrt{a}}\) nên đổi thành \(-\frac{1}{\sqrt{a}-2}\) bạn ạ.

Câu 15: \(\begin{cases}x^2+ax+1=0\\x^2-x-a=0\end{cases}\)

Ta có: \(x^2+ax+1-(x^2-x-a)=0\)

\(\Leftrightarrow ax+1+x+a=0\)

\(\Leftrightarrow (a+1)x+(a+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+1)(x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=-1\\x=-1\end{array}\right.\)

TH1: a=-1 thay vào ta được phương trình: \(x^2-x+1=0\)

\(\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4.1.1=-3<0\) nên phương trình vô nghiệm

Loại \(a=-1\)

TH2: \(x=-1\) thay vào ta được: \((-1)^2-a+1=0\)

\(\Leftrightarrow 1-a+1=0\)

\(\Leftrightarrow a=2\)

Vậy với \(a=2\) thì hai phương trình có nghiệm chung là \(x=-1\)

Đáp án \(C\)