a) Xét tam giác AHD và tam giác ABH có:

Góc A chung

\(\widehat{ADH}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta ABH\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AH}\Rightarrow AH^2=AB.AD\)

b) Ta có tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Vậy thì \(\widehat{DHA}=\widehat{DEA}\) 

Lại có \(\widehat{DHA}=\widehat{CBA}\) nên \(\widehat{DEA}=\widehat{CBA}\)

Suy ra \(\Delta ADE\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\)

c) Gọi I là giao điểm của AO và DE.

Xét tam giác vuông ABC có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OA = OC  hay \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)

Lại có  \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)  nên \(\widehat{OAC}+\widehat{DEA}=\widehat{OCA}+\widehat{ABC}=90^o\)

Suy ra \(\widehat{AIE}=90^o\) hay \(AO\perp DE\)

d) Ta có do \(AO\perp DE\) nên:

\(S_{ADOE}=\frac{1}{2}DE.OA=\frac{1}{2}AH.\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}a.AH\)

Vậy thì \(S_{ADOE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất.

Xét tam giác vuông ABC, ta có

 \(BC.AH=AB.AC\le\frac{AB^2+AC^2}{2}=\frac{BC^2}{2}=2a^2\)

\(\Rightarrow AH\le a\)

Vậy AH lớn nhất khi AH = a tức là tam giác ABC vuông cân tại A.

a: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{DAH}\) chung

Do đó: ΔADH~ΔAHB

=>\(\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHC

=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

b: ΔADE~ΔACB

=>\(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC=MB

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{AED}+\hat{MAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AM⊥DE

a, tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> AB^2 + AC^2 = BC ^2 (đl PYTAGO)

AB = 8; AC = 15

=> 8^2 + 15^2 = BC^2

=> BC^2 = 289

=> BC = 17 do BC > 0