Có 7 vecto thỏa mãn đề bài: \(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{PN};\overrightarrow{NP};\overrightarrow{MB};\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BA}\)

Ta có: IJ−→=IA−→+AB−→−+BJ−→IJ→=IA→+AB→+BJ→
IJ−→=ID−→+DC−→−+CJ−→IJ→=ID→+DC→+CJ→
⇒IJ−→=12(AB−→−+DC−→−)⇒IJ→=12(AB→+DC→)
Xét:
HK−→−.IJ→=12(OK−→−−OH−→−).(AB−→−+DC−→−)=12(OK−→−.AB−→−+OK−→−.DC−→−−OH−→−.AB−→−−OH−→−.DC−→−)=12(OK−→−.AB−→−−OH−→−.DC−→−)=12[(OC−→−+CK−→−).(OB−→−−OA−→−)−(OA−→−+AH−→−).(OC−→−−OD−→−)]=12[(OB−→−−OA−→−−AH−→−).OC−→−−(CK−→−+OC−→−−OD−→−).OA−→−]=12[(HA−→−+AO−→−+OB−→−).OC−→−−(DO−→−+OC−→−+CK−→−).OA−→−]=12(HB−→−.OC−→−−DK−→−.OA−→−)=0⇔HK⊥IJ

\(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}\)

Xét ΔABC có

I,J lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>IJ là đường trung bình của ΔABC

=>IJ//AC và \(IJ=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔADC có

L,K lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>LK là đường trung bình của ΔADC

=>LK//AC và \(LK=\frac{AC}{2}\)

IJ//AC

LK//AC

Do đó: IJ//LK

\(IJ=\frac{AC}{2}\)

\(LK=\frac{AC}{2}\)

Do đó: IJ=LK

Xét tứ giác IJKL có

IJ//KL

IJ=KL

Do đó: IJKL là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{JL}\)

=>\(\overrightarrow{LJ}=-\overrightarrow{JI}-\overrightarrow{JK}\)

ΔABC vuông cân tại A

=>AB=AC

=>AC=a

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(BC=a\sqrt2\)

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\)

\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\cdot\overrightarrow{AM}\right|=2\cdot AM=BC=a\sqrt2\)

a) Theo bài ra ta có: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AN}=3.\overrightarrow{NC}\) => \(\overrightarrow{AN}=3.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN}\right)\) => \(4.\overrightarrow{AN}=3.\overrightarrow{AC}\)

=> \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}\)

=> \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{AB}\)

b) Xét tam giác ABC, theo định lý Talet có: \(\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{1}{3}\)

=> NP// AB => \(\dfrac{NP}{AB}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{1}{4}\) => \(\overrightarrow{NP}=\dfrac{1}{4}.\overrightarrow{AB}\)

=> \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{-1}{2}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{AC}\)