\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow sinA=\sqrt{1-cos^2A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\dfrac{a}{sinA}=2R\Rightarrow R=\dfrac{a}{2sinA}=\sqrt{2}\)

Chọn A

AB=2AM

=>AM=AB/2=4

AC=3AN

=>AN=6/3=2

Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{MAN}=90^0\)

ΔMAN vuông tại A

=>\(MN^2=AM^2+AN^2=4^2+2^2=16+4=20\)

=>\(MN=2\sqrt5\)

ΔAMN vuông tại A

=>ΔAMN nội tiếp đường tròn đường kính MN

=>\(R=\frac{MN}{2}=\sqrt5\)

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)

\(\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MG}=0\)

\(\Rightarrow\) M thuộc đường tròn đường kính AG

Bán kính: \(R=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

AB=2AM

=>AM=AB/2=4

AC=3AN

=>AN=6/3=2

Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{MAN}=90^0\)

ΔMAN vuông tại A

=>\(MN^2=AM^2+AN^2=4^2+2^2=16+4=20\)

=>\(MN=2\sqrt5\)

ΔAMN vuông tại A

=>ΔAMN nội tiếp đường tròn đường kính MN

=>\(R=\frac{MN}{2}=\sqrt5\)

tham khảo

https://cungthi.online/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-tap-hop-nhung-diem-m-thoaman-4mambmc-30238-1652.html

Gọi G là trọng tâm của ΔABC

⇒ \(3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

⇒ \(MA^2+MB^2+MC^{2^{ }}+2VT=9MG^2\)

⇒ VT = 9MG² - MA² + MB² + MC² 

⇒ \(\dfrac{a^2}{6}\) = 9MG² - MA² + MB² + MC²

MA² + MB² + MC² 

\(=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)

= 3MG² + 2\(\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)+ GA² + GB² + GC²

= 3MG² + \(GA^2+GB^{2^{ }}+GC^2\)

do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Vậy ta có

\(\dfrac{a^2}{6}=6MG^2-GA^2-GB^2-GC^2\) 

⇔ \(\dfrac{a^2}{6}+\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)=6MG^2\)(1)

Lưu ý, GA,GB,GC lần lượt bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C. Nhưng do ΔABC đều nên chúng sẽ lần lượt bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường cao kẻ từ A,B,C (đặt là h_a ; h_b; h_c)

Dễ dàng tìm được h_a = h_b = h_c = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

⇒ GA = GB = GC = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

⇒ GA² = GB² = GC² = \(\dfrac{a^2}{3}\)

⇒ GA² + GB² + GC² = a²

Thay vào (1)

\(\dfrac{a^2}{6}+a^2=3MG^2\) ⇔ MG² = \(\dfrac{7a^2}{18}\)

⇔ MG = \(\dfrac{a\sqrt{14}}{6}\)

Vậy R = \(\dfrac{a\sqrt{14}}{6}\)

Ai xem hộ sai chỗ nào vs

\(p=\dfrac{a+b+c}{2}=24\)

\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=96\)

\(S=\dfrac{1}{2}h_a.a\Rightarrow h_a=\dfrac{2S}{a}=16\)

\(R=\dfrac{abc}{4S}=10\)

\(r=\dfrac{S}{p}=4\)

\(m_c=\sqrt{\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}}=10\)