a, Vì O là trung điểm EF

MN qua O //AB//CD

=>M là trung điểm AD, N là TD BC

alodgdhgjkhukljhkljyutfruftyhf

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của AD

EK//DC

Do đó; K là trung điểm của AC

b: Xét ΔCAB có

K,F lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>KF là đường trung bình của ΔCAB

=>KF//AB

mà AB//CD

nên KF//CD
Ta có: KF//CD

EK//CD
mà EK,KF có điểm chung là K

nên E,F,K thẳng hàng

=>K thuộc đường thẳng EF

c: Gọi O là giao điểm của AD và BC

Xét ΔODC có AB//CD
nên \(\frac{OA}{AD}=\frac{OB}{BC}\)

mà AD=BC

nên OA=OB

OA+AD=OD

OB+BC=OC

mà OA=OB và AD=BC

nên OD=OC

=>ΔOCD cân tại O

=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

Hình thang ABCD có \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

nên ABCD là hình thang cân

a: Xét hình thang AEFD có

O là trung điểm của EF

OM//AE//DF

Do đó: M là trung điểm của AD

Xét hình thang BEFC có

O là trung điểm của EF

ON//FC//EB

Do đó: N là trung điểm của BC

b: Xét hình thang AEFD có

O,M lần lượt là trung điểm của EF,AD

=>OM là đường trung bình của hình thang AEFD

=>\(OM=\frac12\left(AE+FD\right)=\frac12\left(\frac12\cdot AB+\frac12\cdot CD\right)=\frac14\cdot\left(AB+CD\right)\) (1)

Xét hình thang BEFC có

O,N lần lượt là trung điểm của EF,BC

=>ON là đường trung bình của hình thang BEFC
=>\(ON=\frac12\cdot\left(BE+CF\right)=\frac12\cdot\left(\frac12\cdot AB+\frac12\cdot CD\right)=\frac14\cdot\left(AB+CD\right)\) (2)

Từ (1),(2) suy ra OM=ON

c: Xét tứ giác EMFN có

O là trung điểm chung của EF và MN

=>EMFN là hình bình hành

Bài 1:

A B C D M N P Q E F

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc