- Đây có phải là toán lớp 8 nữa không vậy :)? Mình học toán nâng cao nhưng chưa bao giờ thấy dạng này :).

b1:

do x;y thuộc số nguyên N và x,y\(\ge\)2

=>\(-4xy+1< +7x-7y< 4xy+1\)

\(\Rightarrow4x^2y^2-4xy+1< 4x^2y^2+7x-7y< 4x^2y^2+4xy+1\)

\(\Rightarrow\left(2xy-1\right)^2< 4x^2y^2+7x-7y< \left(2xy+1\right)^2\)

mà \(4x^2y^2+7x-7y\) là số chính phương và 1<2xy-1<2xy-1 nên ta có:

\(4x^2y^2+7x-7y-\left(2xy\right)^2\Leftrightarrow x=y\)

1.

TH1: \(x>0\Rightarrow7\left(x-y\right)>0\Rightarrow A>4x^2y^2\)

\(4xy-7x+7y+1>4xy-8x+7y+1=4x\left(y-2\right)+7y+1>0\) do \(x;y\ge2\)

\(\Rightarrow4xy+1>7x-7y\Rightarrow A< 4x^2y^2+4xy+1\)

\(\Rightarrow\left(2xy\right)^2< A< \left(2xy+1\right)^2\)

\(\Rightarrow A\) nằm giữa 2 SCP liên tiếp nên ko thể là SCP

TH2: \(x< y\) , tương tự ta có: \(7\left(x-y\right)< 0\Rightarrow A< 4x^2y^2\)

\(4xy+7x-7y-1>4xy+7x-8y-1=4y\left(x-2\right)+\left(7x-1\right)>0\)

\(\Rightarrow7x-7y>-4xy+1\Rightarrow A>4x^2y^2-4xy+1\)

\(\Rightarrow\left(2xy-1\right)^2< A< \left(2xy\right)^2\)

\(\Rightarrow A\) ko thể là SCP

TH3: \(x=y\Rightarrow A=\left(2xy\right)^2\) là SCP (thỏa mãn)

Vậy \(x=y\)

2.

\(\Leftrightarrow4^m-4.2^m+1=n^2+5n+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2^m-1\right)^2=n^2+6n+9-n\)

\(\Leftrightarrow n=\left(n+3\right)^2-\left(2^m-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow n=\left(n+2+2^n\right)\left(n+4-2^m\right)\)

TH1: \(n+4-2^m=0\Rightarrow n=0\Rightarrow m=2\)

TH2: \(n+4-2^m⋮0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\ne0\\n⋮\left(n+2+2^m\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n\ge n+2+2^m\) (vô lý)

3.

\(\Leftrightarrow\left(n+3\right)\left(n+4\right)-9+1=2^m\)

Do tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 2

\(\Rightarrow\) Vế trái chia 3 luôn dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow2^m\) chia 3 dư 1

\(\Rightarrow m\) chẵn \(\Rightarrow m=2k\)

\(\Rightarrow n^2+7n+4=2^{2k}\)

\(\Leftrightarrow4n^2+28n+16=4.2^{2k}\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+7\right)^2-33=\left(2.2^k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+7-2.2^k\right)\left(2n+7+2.2^k\right)=33\)

Phương trình ước số cơ bản, em tự giải

4.

Do d là ước dương của \(3n^2\Rightarrow3n^2=d.k\Rightarrow d=\dfrac{3n^2}{k}\)

Theo giả thiết:

\(n^2+d=a^2\Leftrightarrow n^2+\dfrac{3n^2}{k}=a^2\)

\(\Leftrightarrow k.n^2+3n^2=k.a^2\)

\(\Leftrightarrow k^2n^2+3n^2.k=k^2a^2\)

\(\Leftrightarrow n^2\left(k^2+3k\right)=\left(ak\right)^2\)

\(\Rightarrow k^2+3k\)  cũng là SCP

Mặt khác:

\(k^2< k^2+3k< k^2+4k+4\)

\(\Rightarrow k^2< k^2+3k< \left(k+2\right)^2\)

\(\Rightarrow k^2+3k=\left(k+1\right)^2\)

\(\Rightarrow k=1\)

Vậy \(d=\dfrac{3n^2}{1}=3n^2\)

có vẫn là toán 8 nhưng nâng cao hơn những bài nâng cao bạn từng học

mình học Quy nạp toán học với nguyên lý Đirichlet :)

và định lý Bezout nữa :)

đây là toán lớp 8 nha bạn mik cx thấy nó khó