\(a,\) \(\left(d\right)\) đi qua \(A\left(1;2\right)\Leftrightarrow x=1;y=2\)

\(\Leftrightarrow2=m+1-2m+3\Leftrightarrow m=2\)

\(b,m=2\Leftrightarrow\left(d\right):y=3x-2\cdot2+3=3x-1\)

\(y=2\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow A\left(1;2\right)\\ y=5\Leftrightarrow x=2\Leftrightarrow B\left(2;5\right)\)

a: y=(m-1)x+m

=mx+m-x

=m(x+1)-x

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\begin{cases}x+1=0\\ y=-x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ y=-\left(-1\right)=1\end{cases}\)

=>M(-1;1)

b: Gọi phương trình đường thẳng OM là (d2): y=ax+b(a<>0)

Thay x=0 và y=0 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot0+b=0\)

=>b=0

=>y=ax

Thay x=-1 và y=1 vào y=ax, ta được:

\(a\cdot\left(-1\right)=1\)

=>a=-1

=>y=-x

c: y=(m-1)x+m

=>(m-1)x-y+m=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(m-1\right)+0\cdot\left(-1\right)+m\right|}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}=\frac{m}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\)

Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}\) nhỏ nhất

=>m-1=0

=>m=1

â ) vì đồ thị ( đ ) đi qua A ( 1 ; -1 ) nên thay x = 1 ; y = -1 vào đồ thị ( d ) 

 ta có :  - 1 = ( m - 2 ) . 1 + 3 

     <=>  ( m - 2 ) + 3 = -1 

      <=>  m - 2          =  - 4 

      <=> m                =  -2 

Vậy m = 1 

b ) 

\(c,\text{PTHĐGD }y=x+1\text{ và }\left(d\right):\\ x+1=2x-3\\ \Leftrightarrow x=4\Leftrightarrow y=5\Leftrightarrow A\left(4;5\right)\\ \text{Để 3 đt đồng quy }\Leftrightarrow A\left(4;5\right)\in y=\left(m-1\right)x+5\\ \Leftrightarrow4m-4+5=5\\ \Leftrightarrow m=1\)

Bài 2:

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

x-2=2-x

\(\Leftrightarrow2x=4\)

hay x=2

Thay x=2 vào (d1), ta được:

y=2-2=0

Thay x=2 và y=0 vào (d3), ta được:

2(2-m)+1=0

\(\Leftrightarrow4-2m+1=0\)

hay \(m=\dfrac{5}{2}\)