1.

\(\sqrt{2x+1}=x+2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+1\ge0\\2x+1=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\2x+1=x^2+4x+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\x^2+2x+3=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho vô nghiệm

2.

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{3}{2}\)

C1:

\(x^2-4x+21=6\sqrt{2x+3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x+9\right)+\left(2x+3-6\sqrt{2x+3}+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(\sqrt{2x+3}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3=0\\\sqrt{2x+3}-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

C2:

\(x^2-4x+21=2.3.\sqrt{2x+3}\)

\(\Rightarrow x^2-4x+21\le3^2+2x+3\)

\(\Rightarrow x^2-6x+9\le0\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow x-3=0\)

\(\Rightarrow x=3\)

3.

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{3}\)

Đặt \(\sqrt{3x+1}=t\ge0\Rightarrow3x=t^2-1\)

Pt trở thành:

\(t^2-4t-m=0\)

Do \(t_1+t_2=4>0\) nên nếu pt có nghiệm nó sẽ luôn có ít nhất 1 nghiệm dương

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho có nghiệm khi:

\(\Delta'=4+m>0\Rightarrow m>-4\)

4.

Đặt \(t=\sqrt{x^2+4x+8}=\sqrt{\left(x+2\right)^2+4}\ge2\)

\(\Rightarrow-x^2-4x=-t^2+8\)

Phương trình trở thành:

\(-t^2+8-6t+m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+6t-8=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+6t-8\) với \(t\ge2\)

\(a=1>0\); \(-\dfrac{b}{2a}=-3< 2\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(2\right)=8\)

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có nghiệm khi \(m\ge8\)

em cảm ơn thầy nhiều ạ