Lưu ý rằng 1001 = 7 * 11 * 13. 

(i) Mod hoạt động 7 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 6 = 1 (mod 7) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 6) ^ 500 = 1 ^ 500 = 1 (mod 7). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 7. 

(ii) Mod hoạt động 11 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 10 = 1 (mod 11) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 10) ^ 300 = 1 ^ 300 = 1 (mod 11). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 11. 

(iii) Mod hoạt động 13 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 12 = 1 (mod 13) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 12) ^ 250 = 1 ^ 250 = 1 (mod 13). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 13. 

Vì 1001 = 7 * 11 * 13 và 7, 11 và 13 là cặp tương đối nguyên tố, 
chúng tôi kết luận rằng 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 1001

301 = 7 * 43, 

vì vậy 300 ≡ -1 (mod 7) 

Sau đó 300 ^ 3000 - 1 (-1) ^ 3000 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 7) 

Vậy 7 chia 300 ^ 3000 - 1 



297 = 27 * 11, 

vì vậy 300 ≡ 3 (mod 11) 

Sau đó, 
300 ^ 3000 - 1 3 ^ 3000 - 1 ≡ (3 ^ 5) ^ 600 - 1 (mod 11) 

Nhưng 3 ^ 5 = 243 = 22 * ​​11 + 1 
so 3 ^ 5 1 (mod 11) 

Sau đó 
300 ^ 3000 - 1 (3 ^ 5) ^ 600 - 1 ≡ 1 ^ 600 - 1 ≡ 0 (mod 11) 

Vì vậy, 11 chia 300 ^ 3000 - 1 



Cuối cùng, 299 = 23 * 13, 

vì vậy 300 1 (mod 13) 

Sau đó 
300 ^ 3000 - 1 1 ^ 3000 - 1 ≡ 0 (mod 13) 

Vì vậy, 13 chia 300 ^ 3000 - 1 


Vì 7, 11, 13 đều là số nguyên tố, nó theo đó là sản phẩm của họ, 1001 chia 300 ^ 3000 - 1

TRẦN TUẦN NAM (Team Alan Walker ): Copy thì xin copy cho đúng nha bạn!

P/s: À mà olm cũng "linh" thật. Vừa đăng lên xong thì mình cũng vừa tìm ra cách làm -_-" dù sao cũng xin mọi người làm luôn ạ,để em đối chiếu xem cách em có sai cái gì ko :D

300 ³⁰⁰⁰ = (300 ⁵⁰⁰ ) ⁶ 1 (mod 7)

. Tương tự, 300 đến ^{3000 có} thể so sánh từ 1 đến 11 và 10 đến mod 13 (vì 3000 được chia cho 10 và 12)

. Do đó, 300 ³⁰⁰⁰ - 1 được chia cho 7 · 11 · 13 = 1001.

Có:\(300\equiv6\left(mod7\right)\)

\(\Leftrightarrow300^{3000}\equiv6^{3000}\left(mod7\right)\)

Mà \(6\equiv-1\left(mod7\right)\Leftrightarrow6^{3000}\equiv1\left(mod7\right)\)

=> \(300^{3000}\equiv1\left(mod7\right)\Leftrightarrow300^{3000}-1⋮7\)(1)

Lại có: \(300^{3000}\equiv3^{3000}\left(mod11\right)\)

\(\text{Mà }3^5\equiv1\left(mod11\right)\Leftrightarrow\left(3^5\right)^{600}\equiv1\left(mod11\right)\Leftrightarrow3^{3000}\equiv1\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow300^{3000}\equiv1\left(mod11\right)\Rightarrow300^{3000}-1⋮11\)(2)

Lại có:\(300\equiv1\left(mod13\right)\)

\(300^{3000}\equiv1^{3000}\left(mod13\right)\Leftrightarrow300^{3000}-1⋮13\)(3)

Từ (1), (2), (3) => ..... tự giải tiếp 

Ta có 1001 = 7 * 11 * 13.

- mod 7
 ta có 300 ^ 6 = 1 (mod 7)
=> 300 ^ 3000 = (300 ^ 6) ^ 500 = 1 ^ 500 = 1 (mod 7).
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 7.

- mod 11
 ta có 300 ^ 10 = 1 (mod 11)
=> 300 ^ 3000 = (300 ^ 10) ^ 300 = 1 ^ 300 = 1 (mod 11).
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 11.

- mod 13
 ta có 300 ^ 12 = 1 (mod 13)
=> 300 ^ 3000 = (300 ^ 12) ^ 250 = 1 ^ 250 = 1 (mod 13).
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 13.

Vì 1001 = 7 * 11 * 13 và 7, 11 và 13 là cặp tương đối nguyên tố
=> 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 1001.

ko chắc nhá

Vì \(300\equiv-1\left(mod7\right)\)nên \(300^{3000}-1\equiv\left(-1\right)^{3000}-1\equiv1-1\equiv0\left(mod7\right)\Rightarrow300^{3000}-1⋮7\)(1).

Vì \(300\equiv3\left(mod11\right)\)nên \(300^{3000}-1\equiv3^{3000}-1\left(mod11\right)\)(2).

Ta thấy rằng \(3^{10}-1=59048⋮11\)(thực chất mình tìm ra được cái này nhờ định lý nhỏ Fermat) nên\(3^{10}\equiv1\left(mod11\right)\Rightarrow3^{3000}-1=\left(3^{10}\right)^{300}-1\equiv1^{300}-1\equiv0\left(mod11\right)\)(3).

Từ (2) và (3) suy ra \(300^{3000}-1\equiv0\left(mod11\right)\Rightarrow300^{3000}-1⋮11\)(4).

Vì \(300\equiv1\left(mod13\right)\)nên \(300^{3000}-1\equiv1^{3000}-1\equiv0\left(mod13\right)\Rightarrow300^{3000}-1⋮13\)(5).

Từ (1),(4),(5) và chú ý rằng 7, 11, 13 đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(300^{3000}-1⋮\left(7\cdot11\cdot13\right)\)hay \(300^{3000}-1⋮1001\).

Boul đẹp trai_tán gái đổ 100%: Thanks boul nhiều. Cách mình rất phức tạp nếu không có sự trợ giúp của máy casio. Tuy nhiên vẫn có thể sai. Sau đây là cách mình vừa làm xong:

Có \(300^{3000}=\left(300^2\right)^{1500}\equiv911^{1500}\) (mod 1001) (1)

Ta có: \(911^{1500}=\left(911^2\right)^{750}\equiv92^{750}\equiv\left(92^5\right)^{150}\equiv1\) (mod 1001) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(300^{3000}\equiv1\left(mod1001\right)\) hay ta có đpcm?

N/x: Để chứng minh 300^3000 - 1 chia hết cho 1001 thì ta phải chứng minh 300^3000 - 1 đồng dư với 0 theo mod 1001

Mặt khác ta có 1001 = 7.11.13

=> Ta phải chứng minh 300^3000 - 1 đồng dư với 0 theo mod 7; mod 11 và mod 13

+, Ta có 300 đồng dư với 6 theo mod 7 

=> 300^3000 đồng dư với 6^3000 theo mod 7

Ta thấy 6^3000 = 36^1500

       36 đồng dư với 1 theo mod 7 

=> 36^1500 đồng dư với 1 theo mod 7

=> 6^3000 đồng dư với 1 theo mod 7

=> 300^3000 đồng dư với 1 theo mod 7

=> 300^3000 - 1 đồng dư với 0 theo mod 7

=> 300^3000 - 1 chia hết cho 7

Làm tương tự ta cũng sẽ được 300^3000 - 1 chia hết cho 11 và 13

=> 300^3000 chia hết cho 1001

Ta phải chứng minh \(300^{3000}\equiv1\pmod{1001}\)

\(300^4\equiv92\pmod{1001} \)

\((300^4)^{750}=300^{3000}\equiv92^{750}\pmod{1001}\)

\(92^5\equiv1\pmod{1001}\)

\((92^5)^{150}=92^{750}\equiv1^{150}=1\pmod{1001}\)

Suy ra: \(300^{3000}\equiv92^{750}\equiv1\pmod{1001}\)

\(300^{3000}\equiv1\pmod{1001}\)

\(\rightarrow 300^{3000}-1\vdots1001\)

\(300^4\equiv92\pmod{1001} \)

\((300^4)^{750}=300^{3000}\equiv 92^{750}\pmod{1001}\)

\(92^5\equiv 1\pmod{1001}\)

\((92^5)^{150}=92^{750}\equiv 1^{150}=1\pmod{1001}\)

\(300^{3000}\equiv 92^{750}\equiv 1\pmod{1001}\)

\(\Rightarrow 300^{3000}-1\vdots1001\)