Gọi H là trung điểm AB, có lẽ từ 2 câu trên ta đã phải chứng minh được \(SH\perp\left(ABCD\right)\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}DM\cap\left(SAC\right)=S\\MS=\dfrac{1}{2}DS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)\)

Gọi E là giao điểm AC và DH

Talet: \(\dfrac{HE}{DE}=\dfrac{AH}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow HE=\dfrac{1}{2}DE\)

\(\left\{{}\begin{matrix}DH\cap\left(SAC\right)=E\\HE=\dfrac{1}{2}DE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(H;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)=d\left(M;\left(SAC\right)\right)\)

Từ H kẻ HF vuông góc AC (F thuộc AC), từ H kẻ \(HK\perp SF\)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAC\right)\right)\)

ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{HAF}=45^0\Rightarrow HF=AH.sin45^0=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), hệ thức lượng:

\(HK=\dfrac{SH.HF}{\sqrt{SH^2+HF^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)

1.

\(\lim\left(\sqrt{9^n-2.3^n}-3^n+\dfrac{1}{2021}\right)\)

\(=\lim\left(\dfrac{\left(\sqrt{9^n-2.3^n}-3^n\right)\left(\sqrt{9^n-2.3^n}+3^n\right)}{\sqrt{9^n-2.3^n}+3^n}+\dfrac{1}{2021}\right)\)

\(=\lim\left(\dfrac{-2.3^n}{\sqrt{9^n-2.3^n}+3^n}+\dfrac{1}{2021}\right)\)

\(=\lim\left(\dfrac{-2.3^n}{3^n\left(\sqrt{1-\dfrac{2}{3^n}}+1\right)}+\dfrac{1}{2021}\right)\)

\(=\lim\left(\dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{2}{3^n}}+1}+\dfrac{1}{2021}\right)\)

\(=\dfrac{-2}{1+1}+\dfrac{1}{2021}=-\dfrac{2020}{2021}\)

2.

\(AP=4PB=4\left(AB-AP\right)=4AB-4AP\)

\(\Rightarrow5AP=4AB\Rightarrow AP=\dfrac{4}{5}AB\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AP}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}\)

\(CD=5CQ=5\left(CD-DQ\right)\Rightarrow5DQ=4CD\Rightarrow DQ=\dfrac{4}{5}CD\) 

\(\Rightarrow\overrightarrow{DQ}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}\)

\(=-\dfrac{4}{5}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}\)

\(=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CB}\)

\(=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AD}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}\)

Mà \(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC}\) không cùng phương\(\Rightarrow\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{PQ}\) đồng phẳng

Tức là câu 2, 3 của bài hình không gian đúng không em?

Đúng rồi ạ , Thầy giúp em với ạ !

(C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y-6\right)^2=9\)

=>tâm là A(2;6) và bán kính là R=3
Tọa độ B(x;y) là ảnh của A(2;6) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)\) là:

x=2+1=3 và y=6+1=7

=>B(3;7)

Gọi (d') là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (d): x+y-1=0

=>(d'): x-y+c=0

Thay x=3 và y=7 vào (d'), ta được:

3-7+c=0

=>c-4=0

=>c=4

=>(d'): x-y+4=0

Tọa độ giao điểm O của (d) và (d') là:

x+y-1=0 và x-y+4=0

=>x+y=1 và x-y=-4

=>x=(1-4)/2=-3/2 và y=x+4=-3/2+4=5/2

=>O(-3/2;5/2)

Gọi C là ảnh của B qua phép đối xứng trục (d): x+y-1=0

=>(d) là đường trung trực của CB

=>(d)⊥BC tại trung điểm của BC

mà (d)⊥BO tại O

và BO,BC có điểm chung là B

nên B,O,C thẳng hàng

=>O là trung điểm của BC

B(3;7); O(-1,5;2,5); C(x;y)

O là trung điểm của BC

=>\(\begin{cases}x+3=2\cdot\left(-1,5\right)=-3\\ y+7=2\cdot2,5=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-6\\ y=-2\end{cases}\)

=>C(-6;-2)

Ảnh của (C) sau khi thực hiện hai phép dời hình là:

\(\left\lbrack x-\left(-6\right)\right\rbrack^2+\left\lbrack y-\left(-2\right)\right\rbrack^2=R^2\)

=>\(\left(x+6\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)

Bạn cần bài nào trong mấy bài này nhỉ?

1.

\(u_{n+1}=4u_n+3.4^n\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{3}{4}\left(n+1\right).4^{n+1}=4\left[u_n-\dfrac{3}{4}n.4^n\right]\)

Đặt \(u_n-\dfrac{3}{4}n.4^n=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2-\dfrac{3}{4}.4=-1\\v_{n+1}=4v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n=-1.4^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{3}{4}n.4^n-4^{n-1}=\left(3n-1\right)4^{n-1}\)

2.

\(a_n=\dfrac{a_{n-1}}{2n.a_{n-1}+1}\Rightarrow\dfrac{1}{a_n}=2n+\dfrac{1}{a_{n-1}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a_n}-n^2-n=\dfrac{1}{a_{n-1}}-\left(n-1\right)^2-\left(n-1\right)\)

Đặt \(\dfrac{1}{a_n}-n^2-n=b_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=2-1-1=0\\b_n=b_{n-1}=...=b_1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a_n}=n^2+n\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{n^2+n}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow5}\left(x^3+5x^2-10x+8\right)=5^3+5.5^2-10.5+8=...\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{x^3-x^2-2x-8}{x^2+3x+2}=\dfrac{-16}{0}=-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-5x+2}{2\left|x\right|+1}=\lim\dfrac{\left|x\right|-5+\dfrac{2}{\left|x\right|}}{2+\dfrac{1}{\left|x\right|}}=\dfrac{+\infty}{2}=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x^3+4x-3}-4x}{\sqrt{9x^2-5x+1}-4x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}}-4\right)}{x\left(\sqrt[]{9-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^2}}-4\right)}=\dfrac{1-4}{3-4}=3\)

Lời giải:

a.

\(\lim\limits_{x\to 5}(x^3+5x^2-10x+8)=5^3+5.5^2-10.5+8=208\)

b. 

\(L=\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3-x^2-2x-8}{x^2+3x+2}\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3-x^2-2x-8}{x+1}.\frac{1}{x+2}=16\lim\limits_{x\to -2}\frac{1}{x+2}\)\(\lim\limits_{x\to -2-}\frac{1}{x+2}=-\infty \Rightarrow L=-\infty ; \lim\limits_{x\to -2+}\frac{1}{x+2}=+\infty \Rightarrow L=+\infty \)