1)

\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}\ge1-\dfrac{1}{1+b}-1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\\\dfrac{1}{1+b}\ge1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{c}{1+c}\\\dfrac{1}{1+c}\ge1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}\ge\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\\\dfrac{1}{1+b}\ge\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\dfrac{1}{1+c}\ge\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{matrix}\right.\)

Nhân theo từng vế

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\dfrac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow1\ge8abc\)

\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

cảm ơn bạn

Đặt $t=\sqrt{x}\ge0$. Điều kiện xác định:

$x\ge0,\quad x\ne1$.

Ta có

$A=\left(\dfrac{2x+1}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac1{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\dfrac{x-2}{x+\sqrt{x}}\right)$

$=\left(\dfrac{2t^2+1}{t^3-1}-\dfrac1{t-1}\right):\left(1-\dfrac{t^2-2}{t^2+t}\right)$

$=\dfrac{t}{t^2+t+1}:\dfrac{t+2}{t(t+1)}$

$=\dfrac{t^2(t+1)}{(t^2+t+1)(t+2)}$

Vậy:

$A=\dfrac{x(\sqrt{x}+1)}{(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}$.

a) Rút gọn

$A=\dfrac{x(\sqrt{x}+1)}{(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}$.

b) Với $x=\dfrac{2-\sqrt3}{2}$

Ta có $\sqrt{x}=\dfrac{\sqrt3-1}{2}$.

Thay vào biểu thức rút gọn:

$A\approx0,0274$.

Vậy $A\approx0,0274$.

c) Tìm $x\in\mathbb Z$ để $A\in\mathbb Z$

Vì $x\in\mathbb Z,\ x\ge0$.

Nếu $x=0$:

$A=0\in\mathbb Z$.

Với $x>0$, ta có:

$A=\dfrac{t^2(t+1)}{(t^2+t+1)(t+2)}$

Mà

$(t^2+t+1)(t+2)-t^2(t+1)=2t^2+3t+2>0$

nên $0<A<1$.

Do đó $A$ không thể là số nguyên.

Vậy $x=0$.

d) Tìm GTNN của $A$

Vì $A\ge0$ nên:

$A_{\min}=0$

khi $x=0$.

Vậy GTNN là $0$.

e) Tìm $x$ để $A=\dfrac13$

$\dfrac{t^2(t+1)}{(t^2+t+1)(t+2)}=\dfrac13$

$3t^2(t+1)=(t^2+t+1)(t+2)$

$2t^3-3t-2=0$

Phương trình có nghiệm dương:

$t\approx1,47569$

Suy ra:

$x=t^2\approx2,17765$.

Vậy $x\approx2,178$.

g) So sánh $A$ với $1$

$A-1$

$=\dfrac{t^2(t+1)-(t^2+t+1)(t+2)}{(t^2+t+1)(t+2)}$

$=\dfrac{-2t^2-3t-2}{(t^2+t+1)(t+2)}<0$

Vậy:

$A<1$.

h) Tìm $x$ để $A>12$

Theo câu g:

$A<1$.

Mà:

$1<12$

$\Rightarrow A<12$.

Do đó không thể có $A>12$.

Vậy không có giá trị $x$ nào thỏa mãn.

Bài 2 : 

Tìm min : Bình phương 

Tìm max : Dùng B.C.S ( bunhiacopxki )

Bài 3 : Dùng B.C.S

KP9

nói thế thì đừng làm cho nhanh bạn ạ

Người ta cũng có chút tôn trọng lẫn nhau nhé đừng có vì dăm ba cái tích 

1.  x≥1 <=> \(\frac{1}{x}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+1\le2\Leftrightarrow A\le2\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)

2. Áp dụng bđt cosi cho x>0. ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow P\ge2\Rightarrow MinP=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)

3: \(A=\frac{x^2+x+4}{x+1}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x+1\right)+4}{x+1}=x+1-1+\frac{4}{x+1}\)

áp dụng cosi cho 2 số dương ta có: \(x+1+\frac{4}{x+1}\ge2\sqrt{x+1.\frac{4}{x+1}}=2\Leftrightarrow A+1\ge2\Rightarrow A\ge3\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x+1=\frac{4}{x+1}\Leftrightarrow x=1\)