Đáp án A

\(u_{n+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}+\dfrac{2}{n+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{3}{n+1+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}\right)\)

Đặt \(u_n-\dfrac{3}{n+1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow v_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}+\dfrac{3}{n+1}\)

Đáp án A

a. u1 = - 1, un + 1 = un + 3 với n > 1

u1 = - 1;

u2 = u1 + 3 = -1 + 3 = 2

u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5

u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8

u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 (1)

+ Khi n = 1 thì u1 = 3.1 - 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3k – 4.

+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: uk+1 = 3(k+1) - 4

Thật vậy,ta có : uk + 1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

⇒ (1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Chọn đáp án A.

Ta có  u n + 1 - u n = 3 ( n + 1 ) - 2 - 3 n + 2 = 3

Suy ra  d = 3  là công sai của cấp số cộng

a: Ta có: \(u_1 = \frac{1}{3}, \quad u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n(3n-1) + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\)

=>\(\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{2u_n(3n-1) + 1}{2u_n} = (3n - 1) + \frac{1}{2u_n}\)

Đặt \(v_n = \frac{1}{u_n}\)

=>\(v_1=1:\frac13=3\)

Ta có công thức truy hồi sau: \(v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n + 3n - 1\)

a: \(v_2=\frac{1}{2}v_1+3\cdot1-1=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}\)

\(v_3=\frac{1}{2}v_2+3\cdot2-1=\frac{7}{4}+5=\frac{27}{4}\)

\(v_4=\frac{1}{2}v_3+3\cdot3-1=\frac{27}{8}+8=\frac{91}{8}\)

=>\(u_4=1:\frac{91}{8}=\frac{8}{91}\)

\(v_{n+1} + A(n+1) + B = \frac{1}{2}(v_n + An + B)\)

=>\(v_{n+1}=\frac{1}{2}v_{n}-\frac{A}{2}n-A-\frac{B}{2}\)

=>\(\begin{cases} -\frac{A}{2} = 3 \\ -A - \frac{B}{2} = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} A = -6 \\ B = 14 \end{cases}\)

Đặt \(w_n = v_n - 6n + 14\)

=>\(w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n\)

=>(Wn) là cấp số nhân với \(w_1=v_1-6\cdot1+14=3-6+14=17-6=11\) và công bội là q=1/2

=>\(w_n = w_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

=>\(v_n = w_n + 6n - 14 = 11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6n - 14\)

=>\(u_n = \frac{1}{11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6n - 14}\)

Ta có: \(S = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \dots + \frac{1}{u_n}\)

=>\(S=\sum_{k=1}^{n}v_{k}\)

\(=\sum_{k=1}^{n}\left[11\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}+6k-14\right]\)

\(S_1 = 11 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 11 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 22 \left[ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]\)

\(S_2 = 6 \sum_{k=1}^n k = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n^2 + 3n\)

\(S_3 = \sum_{k=1}^n (-14) = -14n\)

Do đó: \(S=S_1+S_2+S_3\)

\(=22\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]+3n^2+3n-14n\)

\(=3n^2-11n+22-22\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

Chọn A

1)  Xét dãy số :  u n = − 3 n − 1 5

u n + 1 u n = − 3 n + ​ 1 − 1 5 :    − 3 n − 1 5 = 3 ⇒ ( u n ) Ta có:  là cấp số nhân với công bội q= 3.

 (2). Xét dãy số: u_n = 3n - 1

      Ta có: u n + 1 u n =    3 ( n + 1 ) − 1 3 n − 1 = 3 n + 2 3 n − 1 ⇒ ( u n )  không phải là cấp số  nhân.

( 3) Xét  dãy số :  u n = 2 n − 1 3

Ta có: u n + 1 u n = 2 n + 1 − 1 2 n − 1 ⇒ ( u n )  không phải là cấp số  nhân

(4) xét dãy số u_n = n³

Ta có: u n + 1 u n = ( n + 1 ) 3 n 3 ⇒ ( u n )  không phải là cấp số nhân

Ta sẽ chứng minh dãy này giảm theo quy nạp.

Với n = 1 ta có u₁ = -1

Với n = 2 ta có u₂ = -5

=> u₁ > u₂

Giả sử dãy trên đúng với u_k > u_k+1 tức 2k - 3^k > 2(k + 1) - 3^{k + 1} <=> 2k - 2(k + 1) > 3^k - 3^k+1

Ta cần chứng minh dãy cũng đúng với u_k+1 > u_k+2

Hay 2(k + 1) - 3^k+1 > 2(k + 2) - 3^k+2

<=> 2k - 3.3^k > 2(k + 1) - 3.3^k+1

<=> 2k - 2(k + 1) > 3.(3^k - 3^k+1)

Thật vậy: Với k nguyên dương ta luôn có 3^k - 3^k+1 < 0 và 3 > 1 nên 3(3^k - 3^k+1) < 3^k - 3^k+1

Lại có 2k - 2(k + 1) > 3^k - 3^k+1 => 2k - 2(k + 1) > 3.(3^k - 3^k+1) (đpcm)

Vậy dãy u_n trên là dãy giảm