Mấy bài này dài vật vã ghê =)))))))))))))

1, a, \(\frac{3+4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}\) 

= \(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}\)

=\(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2-5}\)

=\(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{8+4\sqrt{3}-5}\)

= \(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{3+4\sqrt{3}}\)

=\(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

b, M = \(\frac{\sqrt{3}\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2}-x+1}\)(ĐKXĐ: \(x\ge0\))

= \(\frac{\sqrt{3}\left(x-1\right)}{x-x+1}\)

= \(\sqrt{3}\left(x-1\right)\)

Thay x = \(2+\sqrt{3}\)(TMĐK) vào M ta có:

M = \(\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)=3+\sqrt{3}\)

Vậy với x = \(2+\sqrt{3}\)thì M = \(3+\sqrt{3}\)

2, Mình chỉ giải câu a thôi nhé:

\(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\ge2\sqrt{1+a}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\right)^2\ge\left(2\sqrt{1+a}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow1+b+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+1+c\ge4\left(1+a\right)\)

\(\Leftrightarrow2+b+c+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)\left(1\right)\)

Vì \(\left(\sqrt{1+b}-\sqrt{1+c}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2+b+c\ge2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow4+2\left(b+c\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow4+2\left(b+c\right)\ge4\left(1+a\right)\)

\(\Leftrightarrow4+2\left(b+c\right)\ge4+4a\)

\(\Leftrightarrow2\left(b+c\right)\ge4a\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge2a\)

4*. Thật ra cái này mình xài làm trội, làm giảm là được mà

Đặt A = \(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}}\)

\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{2\sqrt{n}}\)

\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)

          \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}\)

  +      .........................................................

          \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)  

Cộng tất cả vào

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)\(\frac{1}{2}A>\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}\)

\(\frac{1}{2}A>\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

\(\frac{1}{2}A>\sqrt{n+1}-\sqrt{2}\)

\(A>2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3\)

\(A+1>2\sqrt{n+1}-3+1\)

\(A+1>2\sqrt{n+1}-2\)

\(A+1>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cảm ơn b Trần Bảo Như nha <3

a) \(3\sqrt{x}-2\sqrt{9x}+\sqrt{16x}=5\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}-6\sqrt{x}+4\sqrt{x}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=5\)

<=>  x = 25

b) pt <=> \(\left(x^2+5\right)=\left(x+1\right)^2\)

        <=>  \(\left(x^2+5\right)=x^2+2x+1\)

        <=>   2x = 4

         <=>  x = 2 

c)  pt <=> \(45-14\sqrt{x}+x=x-11\)

         <=> \(45+11=14\sqrt{x}\)

<=> \(56=14\sqrt{x}\)

<=> \(4=\sqrt{x}\)

<=>  x = 16

p/s : Cậu tự đặt điều kiện nhé

\(\sqrt{2x^2-16x+41}+\sqrt{3x^2-24x+64}=7\)

Ta đánh giá vế phải \(\sqrt{2x^2-16x+41}+\sqrt{3x^2-24x+64}=\sqrt{2\left(x-4\right)^2+9}+\sqrt{3\left(x-4\right)^2+16}\ge\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\)(Do \(\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\))

Như vậy, để \(\sqrt{2x^2-16x+41}+\sqrt{3x^2-24x+64}=7\)(hay dấu "=" xảy ra) thì \(\left(x-4\right)^2=0\)hay x = 4

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 4

f, \(\sqrt{8+\sqrt{x}}+\sqrt{5-\sqrt{x}}=5\left(đk:25\ge x\ge0\right)\)

\(< =>\sqrt{8+\sqrt{x}}-\sqrt{9}+\sqrt{5-\sqrt{x}}-\sqrt{4}=0\)

\(< =>\frac{8+\sqrt{x}-9}{\sqrt{8+\sqrt{x}}+\sqrt{9}}+\frac{5-\sqrt{x}-4}{\sqrt{5-\sqrt{x}}+\sqrt{4}}=0\)

\(< =>\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{8+\sqrt{x}}+\sqrt{9}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{5-\sqrt{x}}+\sqrt{4}}=0\)

\(< =>\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{8+\sqrt{x}}+\sqrt{9}}-\frac{1}{\sqrt{5-\sqrt{x}}+\sqrt{4}}\right)=0\)

\(< =>x=1\)( dùng đk đánh giá cái ngoặc to nhé vì nó vô nghiệm )

mấy bài này thì bạn cứ đặt ẩn phụ cho dễ nhìn hơn mà giải nhé 

a, \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x-y}+x+3y=\frac{3}{2}\\\frac{4}{2x-y}-5\left(x+3y\right)=-3\end{cases}}\)ĐK : \(2x\ne y\)

Đặt \(\frac{1}{2x-y}=t;x+3y=u\)hệ phương trình tương đương 

\(\hept{\begin{cases}t+u=\frac{3}{2}\\4t-5u=-3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4t+4u=6\\4t-5u=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9u=9\\4t=-3+5u\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u=1\\t=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Theo cách đặt \(\hept{\begin{cases}x+3y=1\\\frac{1}{2x-y}=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3y=1\\2x-y=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+6y=2\\2x-y=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}7y=4\\x=\frac{y+2}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=\frac{4}{7}\\x=\frac{9}{7}\end{cases}}}\)

Vậy hệ pt có một nghiệm (x;y) = (9/7;4/7) 

c) Bài này nghiệm đẹp nên cứ yên tâm bình phương:) Còn em lâu rồi ko đi khủng bố tinh thần người đọc:P

ĐK: \(x\ge-\frac{1}{16}\)

PT \(\Leftrightarrow x^2-x-2+\frac{2\sqrt{1+16x}}{9}\left(\sqrt{1+16x}-9\right)-\frac{2\left(1+16x\right)}{9}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+\frac{4}{9}\right)+\frac{2\sqrt{1+16x}}{9}\left(\frac{16\left(x-5\right)}{\sqrt{1+16x}+9}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+\frac{4}{9}+\frac{32\sqrt{1+16x}}{9\left(\sqrt{1+16x}+9\right)}\right)=0\)

Cái ngoặc to luôn dương.

Do đó x = 5

P/s: Em đánh máy lỗi chỗ nào thì nhắn hộ em:D

a)ĐK:...

Đặt \(\sqrt{x+5}=a;\sqrt{3-x}=b\ge0\Rightarrow a^2+b^2=8\)

Theo đề bài ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-2\left(ab+1\right)=0\\a^2+b^2=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-2ab-2=0\\\left(a+b\right)^2-2ab-8=0\end{matrix}\right.\)

Lấy pt dưới trừ pt trên thu được \(\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-6=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=3\\a+b=-2\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Thay a + b = 3 vào pt đầu ta suy ra \(ab=\frac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viet đảo: a, b là hai nghiệm của pt:\(t^2-3t+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow t\in\left\{\frac{3+\sqrt{7}}{2};\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right\}\).Đến đây xét 2 th:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3+\sqrt{7}}{2}\\b=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\\b=\frac{3+\sqrt{7}}{2}\end{matrix}\right.\) nữa là xong! (em nghĩ vậy thôi chứ ko chắc ở đoạn dùng hệ thức Viet đảo đâu!)

a)\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1\)

b) \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}=\sqrt{9+6\sqrt{2}+2}-3+\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}-3+\sqrt{2}=3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

c) \(\sqrt{25x^2}-2x=-5x-2x=-7x\)(vì x < 0)

d) \(x-5+\sqrt{25-10x+x^2}=x-5+\sqrt{\left(5-x\right)^2}=x-5+x-5=2x-10\) (vì x > 5)

\(a,\sqrt{2x+5}=\sqrt{1-x}\)

\(\Rightarrow2x+5=1-x\)

\(2x+x=1-5\)

\(3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{-4}{3}\)

Vậy \(S=\left\{-\frac{4}{3}\right\}\)thuộc tập nghiệm của pt trên

\(a,\sqrt{3-x}+\sqrt{2-x}=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{3+x}=1-\sqrt{2-x}\)

\(\Rightarrow3+x=1-2\sqrt{2-x}+2-x\)

\(\Rightarrow2x+2\sqrt{2-x}=0\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{2-x}=0\)

\(\Rightarrow2-x=\left(-x\right)^2\)

\(\Rightarrow2-x=x^2\)

\(\Rightarrow2-x^2-x=0\)

\(\Rightarrow x^2+x-2=0\) 

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x-1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=1\end{cases}}}\)

Vậy....

a/ ĐKXĐ: \(x\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow6x+1+2\sqrt{5x^2+5x}=6x+1+2\sqrt{8x^2+10x-12}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5x^2+5x}=\sqrt{8x^2+10x-12}\)

\(\Leftrightarrow5x^2+5x=8x^2+10x-12\)

\(\Leftrightarrow3x^2+5x-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3< \frac{3}{4}\left(l\right)\\x=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

b/ \(\Leftrightarrow x^2+x+1+2\sqrt{x^2+x+1}-3=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2+x+1}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2+2t-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+x+1}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)