Gọi \(s = sin ⁡ x , \textrm{ }\textrm{ } c = cos ⁡ x\). Vì \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) nên \(c > 0\). Chia cả phương trình cho \(cos ⁡ x\) được (không làm mất nghiệm vì \(cos ⁡ x \neq 0\) trên đoạn này). Đặt \(t = tan ⁡ x = \frac{s}{c} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Sau khi biến đổi ta được:

tương đương (sau tính toán và đưa về \(t\)):

Vậy nghiệm ứng với \(t\) là:

hoặc \(t\) là nghiệm của đa thức bậc hai

Ta cần số nghiệm \(t \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\). Lưu ý \(t = 1\) luôn là một nghiệm (tương ứng \(x = \pi / 4\)). Để phương trình chỉ có một nghiệm trên \(\left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) tức là không có nghiệm \(t\) nào khác nằm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\). Do đó phải đảm bảo rằng phương trình \(q \left(\right. t \left.\right) = 0\) không có nghiệm trong đoạn \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\).

Phân tích \(q \left(\right. t \left.\right)\):

• Đặt \(D_{q} = 4 \left(\right. \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right) \left.\right)\). Nếu \(1 < m < 3\) thì \(D_{q} < 0\) → \(q\) không có nghiệm thực → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → duy nhất \(t = 1\).
• Nếu \(m \geq 3\) thì hai nghiệm của \(q\) là \(m \pm \sqrt{\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 3 \left.\right)}\); cả hai đều \(> 1\) (không rơi vào \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\)) → chỉ \(t = 1\).
• Nếu \(m \leq 1\) thì \(q\) có nghiệm thực; xét riêng:
• • Nếu \(m < \frac{3}{4}\) thì một nghiệm của \(q\) âm và nghiệm kia \(> 1\) → không có nghiệm trong \(\left[\right. 0 , 1 \left.\right)\) → chỉ \(t = 1\).
  • Nếu \(m = \frac{3}{4}\) thì \(q \left(\right. 0 \left.\right) = 0\) (tức \(t = 0\) là nghiệm) → hai nghiệm trong \(\left[\right. 0 , \frac{\pi}{4} \left]\right.\): \(t = 0\) và \(t = 1\) → không thỏa yêu cầu “duy nhất”.
  • Nếu \(\frac{3}{4} < m < 1\) thì \(q\) có đúng một nghiệm nằm trong \(\left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) → cộng với \(t = 1\) ta có ít nhất hai nghiệm → không thỏa.
  • Nếu \(m = 1\) thì \(q \left(\right. t \left.\right) = \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2}\) và duy nhất nghiệm trong đoạn là \(t = 1\) (bội) → vẫn một nghiệm.

Kết luận: phương trình có đúng một nghiệm \(x \in \left[\right. 0 , \pi / 4 \left]\right.\) khi và chỉ khi

(Nói ngắn: tất cả \(m\) ngoại trừ đoạn \(\left[\right. \frac{3}{4} , 1 \left.\right)\); điểm \(m = \frac{3}{4}\) bị loại vì lúc đó có thêm nghiệm \(x = 0\).)

Lấy logarit cơ số 10 hai vế ta có :

\(lg2^{x+2}+lg3^3=lg4^x+lg5^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)lg2+xlg3=xlg4+\left(x-1\right)lg5\)

\(\Leftrightarrow x\left(lg4+lg5-lg3-lg2\right)=2lg2+lg5\)

\(\Leftrightarrow x.lg\frac{4.5}{3.2}=lg\left(2^2.5\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{lg20}{lg\frac{10}{3}}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{lg20}{lg\frac{10}{3}}\)

Hàm số có cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt 

                                                      \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-3m\left(m-2\right)>0\end{cases}\)

                                                     \(\Leftrightarrow1-\frac{\sqrt{6}}{2}\)<\(m\ne0\) <\(1+\frac{\sqrt{6}}{2}\) (*)

Với điều kiện (*) thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1,}x_2\) và hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực trị tại 

........ đạt cực trị tại \(x_1,x_2.\)

Theo định lý Viet ta có : \(x_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m};\) \(x_1\)\(x_2\)\(=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

Ta có :

\(x_1+2x_2=1\) \(\Leftrightarrow\) \(x_2=1-\frac{2\left(m-1\right)}{m}=\frac{2-m}{m}\); \(x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m}-\frac{2-m}{m}=\frac{3m-4}{m}\)

                       \(\Leftrightarrow\frac{2-m}{m}.\frac{3m-4}{m}=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

                       \(\Leftrightarrow\left(2-m\right)\left(3m-4\right)=3m\left(m-2\right)\)

                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=2\\m=\frac{2}{3}\end{cases}\)

Cả 2 giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy \(x_1+2x_2=1\Leftrightarrow m=2,m=\frac{2}{3}\)

\(y'\left(x\right)=x^2+2\left(m^2-m+2\right)x+3m^2+1\) \(\Rightarrow y''\left(x\right)=2x+2\left(m^2-m+2\right)\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 thì \(\begin{cases}y'\left(-2\right)=0\\y''\left(-2\right)=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}-m^2+4m-3=0\\m^2-m>0\end{cases}\)

                                                                               \(\Rightarrow\begin{cases}\left(m-1\right)\left(m-3\right)=0\\m\left(m-1\right)>0\end{cases}\)

                                                                                \(\Rightarrow m=3\)

Phương trình đã cho tương đương với

\(2^{5.\frac{x+5}{x-7}}=2^{-2}.5^{3.\frac{x+17}{x-3}}\) \(\Leftrightarrow2^{\frac{7x+11}{x-7}}=5^{\frac{3x+51}{x-3}}\)

Lấy Logarit cơ số 2 hai vế, ta có :

\(\frac{7x+11}{x-7}=\frac{3x+51}{x-3}\log_25\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(7-3\log_25\right)x^2-2\left(5+15\log_2x\right)x-\left(33-357\log_25\right)=0\\x\ne7,x\ne3\end{cases}\)

Phương trình bậc 2 trên có :

\(\Delta'=1296\log_2^2-2448\log_25+256>0\)

Nên có nghiệm \(x=\frac{5+15\log_25\pm\sqrt{\Delta'}}{7-3\log_25}\)

Hai nghiệm này đều thỏa mãn vì chúng đều khác 7 và 3

Ko bít nữa.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(\frac{1}{6}\right)^x+2\left(\frac{1}{3}\right)^x+3\left(\frac{1}{2}\right)^x\)

Nhận thấy f(2) = 1. Mặt khác f(x) là tổng của các hàm số nghịch biến trên R. Do đó f(x) cũng là hàm nghịch biến. Từ đó ta có :

\(f\left(x\right)<1=f\left(2\right)\Leftrightarrow x>2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 

\(D=\left(2;+\infty\right)\)