1.
\(\Leftrightarrow sin^2x\left(sinx+1\right)-2\left(1-cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-cos^2x\right)\left(sinx+1\right)-2\left(1-cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)\left(sinx+1\right)-2\left(1-cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-cosx\right)\left(sinx+cosx+sinx.cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\Leftrightarrow...\\sinx+cosx+sinx.cosx-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1):
Đặt \(sinx+cosx=t\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|t\right|\le\sqrt{2}\\sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow t+\frac{t^2-1}{2}-1=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow...\)
2.
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sinx.cosx+\sqrt{2}cos^2x+\sqrt{6}cosx=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(\sqrt{3}sinx+\sqrt{2}cosx+\sqrt{6}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\Leftrightarrow...\\\sqrt{3}sinx+\sqrt{2}cosx=-\sqrt{6}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1):
Do \(\sqrt{3}^2+\sqrt{2}^2< \left(-\sqrt{6}\right)^2\) nên (1) vô nghiệm
a.
\(sin4x+\sqrt{3}cos4x=-\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin4x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos4x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\\4x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
b.
\(2sin2x+2sin^2x=1\)
\(\Leftrightarrow2sin2x+1-cos2x=1\)
\(\Leftrightarrow2sin2x=cos2x\)
\(\Leftrightarrow tan2x=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x=arctan\left(\frac{1}{2}\right)+k\pi\)
\(\Leftrightarrow...\)
c.
\(cos^2x-sin^2x-\sqrt{3}sin2x=1\)
\(\Leftrightarrow cos2x-\sqrt{3}sin2x=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow...\)
d.
\(5sin2x-3\left(1+cos2x\right)=13\)
\(\Leftrightarrow5sin2x-3cos2x=16\)
Do \(5^2+\left(-3\right)^2< 16^2\) nên pt vô nghiệm
e.
\(\Leftrightarrow sin3x=\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x\)
\(\Leftrightarrow cos\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\Leftrightarrow...\)
e/
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\frac{2sin4x.cos2x}{cos2x}-2cos4x=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow2sin4x-2cos4x=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow sin4x-cos4x=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(\Rightarrow x=\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}\)
d/
Đặt \(sin2x-cos2x=\sqrt{2}sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=t\Rightarrow\left|t\right|\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow t^2-3t-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=4\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)
X=π/4+kπ
x=π/2+kπ
x = π/4 + kπ
x = π/2 + kπ
x=π/4+kπ
x=π/2+kπ
x = π/2 +kπ , π/4 +kπ , kϵz
\(\pi\)/4+k\(\pi\)
⎢⎣x=−π24+kπx=−5π24+kπ(k∈Z)[x=−π24+kπx=−5π24+kπ(k∈Z)
Giải thích các bước giải:
2cos2x−2sin2x=√22cos2x−2sin2x=2
→√22cos2x−√22sin2x=12→22cos2x−22sin2x=12
→cos(2x+π4)=cosπ3
Đúng(0)
x=π/4+kπ
x=π/2 +kπ
sin2x−2sin2x=2cos2x
\Leftrightarrow2\sin^2x-2\sin x\cos x+4\cos^2x-2=0⇔2sin2x−2sinxcosx+4cos2x−2=0
Xét \cos x=0cosx=0, phương trình thỏa mãn.
Suy ra x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)x=2π+kπ(k∈Z) là nghiệm của phương trình.
Xét \cos x\ne0cosx=0, chia cả hai vế của phương trình cho \cos^2xcos2x ta được:
2\tan^2x-2\tan x-2\left(1+\tan^2x\right)+4=02tan2x−2tanx−2(1+tan2x)+4=0
\Leftrightarrow⇔\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pitanx=1⇔x=4π+kπ
Vậy các nghiệm của phương trình là x=\dfrac{\pi}{4}+k\pix=4π+kπ và x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)x=2π
Đúng(0)
sin2x−2sin2x=2cos2x
\(\Leftrightarrow 2 \left(sin \right)^{2} x - 2 sin x cos x + 4 \left(cos \right)^{2} x - 2 = 0\)
Xét \(cos x = 0\), phương trình thỏa mãn.
Suy ra \(x = \frac{\pi}{2} + k \pi \left(\right. k \in \mathbb{Z} \left.\right)\) là nghiệm của phương trình.
Xét \(cos x \neq 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \(\left(cos \right)^{2} x\) ta được:
\(2 \left(tan \right)^{2} x - 2 tan x - 2 \left(\right. 1 + \left(tan \right)^{2} x \left.\right) + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow\)\(tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k \pi\)
Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi}{4} + k \pi\) và \(x = \frac{\pi}{2} + k \pi \left(\right. k \in \mathbb{Z} \left.\right)\)