Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\dfrac{x_1^2+\left(m+1\right)x_1+3-x_2^2-\left(m+1\right)x_2-3}{x_1-x_2}\)
\(=\left(x_1+x_2\right)-\left(m+1\right)\)
Vì \(x_1;x_2>1\) nên \(x_1+x_2>2\)
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\) thì \(2-m-1>0\)
=>1-m>0
hay m<1
ta có hàm số
\(y=2\left(x^2-2mx+m^2\right)-\left(2m^2+m-5\right)\ge-\left(2m^2+m-5\right)\)
vậy \(-\left(2m^2+m-5\right)=5\Leftrightarrow2m^2+m=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy có hai giá trị của m
TH1: \(-\frac{b}{2a}=\frac{-2m-1}{2}\in\left[0;1\right]\)
\(\Leftrightarrow0\le\frac{-2m-1}{2}\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(-\frac{3}{2}\le m\le-\frac{1}{2}\)
Khi đó \(f\left(x\right)_{min}=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f\left(\frac{-2m-1}{2}\right)=\frac{-4m-5}{4}\)
\(\Rightarrow-\frac{4m+5}{4}=1\Rightarrow m=-\frac{9}{4}\notin\left[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right]\) (loại)
TH2: \(-\frac{b}{2a}=\frac{-2m-1}{2}< 0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}\)
Khi đó \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(0\right)=m^2-1=1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\sqrt{2}\left(l\right)\\m=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
TH3: \(-\frac{b}{2a}=\frac{-2m-1}{2}>1\Leftrightarrow m< -\frac{3}{2}\)
Khi đó \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(1\right)=m^2+2m+1=1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(l\right)\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=\sqrt{2}\\\end{matrix}\right.\)
\(\hept{\begin{cases}mx+y=m^2+m+1\\-x+my=m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\left(my-m^2\right)+y-m^2-m-1=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(m^2y-m^2\right)+\left(y-1\right)-\left(m^3+m\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+1\right)\left(y-m-1\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y=m+1\\x=m\left(m+1\right)-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2=2m^2+2m+1=2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\) hay hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\)