AB=2AM

=>AM=AB/2=4

AC=3AN

=>AN=6/3=2

Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{MAN}=90^0\)

ΔMAN vuông tại A

=>\(MN^2=AM^2+AN^2=4^2+2^2=16+4=20\)

=>\(MN=2\sqrt5\)

ΔAMN vuông tại A

=>ΔAMN nội tiếp đường tròn đường kính MN

=>\(R=\frac{MN}{2}=\sqrt5\)

Bài 1: Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{5^2+7^2-6^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac{25+49-36}{10\cdot7}=\frac{25+13}{70}=\frac{38}{70}=\frac{19}{35}\)

=>\(\hat{BAC}\) ≃57 độ 7p

Xét ΔABC có \(cosB=\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

\(=\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6}=\frac{25+36-49}{10\cdot6}=\frac{12}{60}=\frac15\)

=>\(\hat{ABC}\) ≃78 độ 27p

Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{C}=180^0-57^07p-78^027p=44^026p\)

Bài 2: Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>\(\frac{3^2+5^2-BC^2}{2\cdot3\cdot5}=cos120=-\frac12\)

=>\(9+25-BC^2=2\cdot3\cdot5\cdot\frac{-1}{2}=-15\)

=>\(BC^2=34+15=49=7^2\)

=>BC=7

Gọi M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{3^2+5^2}{2}-\frac{7^2}{4}=\frac{2\left(9+25\right)-49}{4}=\frac{19}{4}\)

=>\(AM=\frac{\sqrt{19}}{2}\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{9}\overrightarrow{AC}\)

\(R=\dfrac{BC}{2sin\widehat{BAC}}=\dfrac{a}{2sin120^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Giải thích rõ câu a dc ko ạ em ko hiểu lắm

\(BM=2AM\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}AB\Rightarrow\overrightarrow{MB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)

\(AN=3CN\Rightarrow CN=\dfrac{1}{4}CA\Rightarrow\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

\(=\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)

Lời giải:
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac{-1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)

Xét ΔOAB có OA=OB=AB

nên ΔOAB đều

=>\(\hat{OAB}=\hat{OBA}=\hat{BOA}=60^0\)

Xét ΔOAC có \(OA^2+OC^2=AC^2\) và OA=OC

nên ΔOAC vuông cân tại O

=>\(\hat{OAC}=\hat{OCA}=45^0\)

Vì \(\hat{BAC}\) là góc tù

nên \(\hat{BAC}=\hat{BAO}+\hat{CAO}=60^0+45^0=105^0\)