Đáp án A

Cứu 🥺

B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên đáy

\(\Rightarrow\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=60^0\)

\(\Rightarrow AH=BH=CH=\dfrac{SH}{tan60^0}\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy

\(\Rightarrow AH=R=\dfrac{AB.BC.AC}{4S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow SH=AH.tan60^0=\dfrac{AB.BC.AC.\sqrt{3}}{4S_{ABC}}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{AB.BC.CA.\sqrt{3}}{4S_{ABC}}.S_{ABC}=\dfrac{5a^3\sqrt{3}}{12}\)

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là:

$OA = OB = OC = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác: $OM = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 - OM^2 = \dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{12} = \dfrac{8a^2}{12} = \dfrac{2a^2}{3}$.

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8} \cdot \dfrac{2\sqrt2}{3\sqrt3} = \dfrac{a^3\pi\sqrt6}{27}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi a^3\sqrt6}{27}$.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$.

Trong tam giác đều $ABC$:
$AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$\sqrt{3} = \dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{3a}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \dfrac{3a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}$

$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}$

Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Đường cao của tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$ nên: $SH\perp(ABC)$

Suy ra $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Xét tam giác đáy $ABC$ vuông tại $A$ và có:

$\widehat{ABC}=30^\circ$

Vì $BC=a$ (do tam giác $SBC$ đều) nên trong tam giác vuông:

$AB=BC\cos30^\circ =a\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$AC=BC\sin30^\circ =a\cdot\dfrac12 =\dfrac{a}{2}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{2} =\dfrac{a^2\sqrt3}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac13\cdot\dfrac{3a^3}{16} =\dfrac{a^3}{16}$