Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tứ giác ABCD có
AB//CD
AB=CD
Do đó: ABCD là hình bình hành
=>AD//BC và AD=BC
TA có: \(AE=ED=\frac{AD}{2}\)
\(BF=FC=\frac{BC}{2}\)
mà AD=BC
nên AE=ED=BF=FC
Xé tứ giác BEDF có
BF//DE
BF=DE
Do đó: BEDF là hình bình hành
=>BE=DF và BE//DF
Ta có: BEDF là hình bình hành
=>BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(1)
Ta có:ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra AC,BD,EF đồng quy
Vì \(A B \parallel C D , A B = C D\) nên tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân, suy ra \(A D = B C\).
Gọi \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(A D , B C\)
Xét hai tam giác \(\triangle A B D\) và \(\triangle C D B\):
\(A B = C D\) (gt)
\(A D = B C\) (hình thang cân)
\(B D\) chung
\(\Rightarrow \triangle A B D = \triangle C D B\) (c.g.c)
\(\Rightarrow \angle A B D = \angle C D B\), suy ra \(B D\) là trục đối xứng của hình thang \(A B C D\).
Vậy \(B\) đối xứng với \(D\), \(E\) đối xứng với \(F\) qua \(B D\).
Do đó tứ giác \(B E D F\) là hình bình hành
\(\Rightarrow B E \parallel D F , B E = D F .\)
Gọi \(O\) là trung điểm \(A C\).
Vì \(A B C D\) là hình thang cân \(\Rightarrow B D , A C\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất đường chéo hình thang cân).
Suy ra \(O \in B D\).
Mặt khác, \(E , F\) là trung điểm \(A D , B C\)
\(\Rightarrow E F\) là đường trung bình của hình thang cân \(A B C D\)
\(\Rightarrow E F\) đi qua trung điểm \(O\) của \(A C\).
Vậy \(F E , A C , B D\) đồng quy tại \(O .\)
Xét tứ giác ABCD có
AB//CD
AB=CD
Do đó: ABCD là hình bình hành
=>AD//BC và AD=BC
TA có: \(AE=ED=\frac{AD}{2}\)
\(BF=FC=\frac{BC}{2}\)
mà AD=BC
nên AE=ED=BF=FC
Xé tứ giác BEDF có
BF//DE
BF=DE
Do đó: BEDF là hình bình hành
=>BE=DF và BE//DF
Ta có: BEDF là hình bình hành
=>BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(1)
Ta có:ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra AC,BD,EF đồng quy
Ta có :
\(3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{2}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c+d\right)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\ge\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\left(đpcm\right)\)
\(\left(a+b+c+d\right)^2\ge\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+6\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(b^2-2bd+d^2\right)\)\(+\left(c^2-2cd+d^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\) ( đúng )
=> Đpcm
Ta có : \(ac+bd\ge bc+ad\)
\(\Leftrightarrow ac+bd-bc-ad\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ac-bc\right)-\left(ad-bd\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)-d\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)\ge0\)( luôn đúng ) ( do a,b,c,d dương và \(a\ge b\), \(c\ge d\))
Vậy ....