d) Phương trình đã cho tương đương với :

\(2^{3x}+2^x.3^{2x}=2.3^{2x}\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{2}{3}\right)^x-2=0\)

Đặt  \(t=\left(\frac{2}{3}\right)^x,\left(t>0\right)\) Phương trình trở thành 

\(t^3+t-2=0\) hay \(\left(t-1\right)\left(t^2+t+2\right)=0\)

Do \(t^2+t+2=\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\) nên \(t-1=0\) hay t=1

Từ đó suy ra \(\left(\frac{2}{3}\right)^x=1=\left(\frac{2}{3}\right)^0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=0\)

c) Điều kiện \(x\ne0\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(6^{\frac{1}{x}}>0\), ta có :

\(6.\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}-13.1+6\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=0\)

Đặt \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}},\left(t>0\right)\)

Phương trình trở thành 

\(6t-13+\frac{6}{t}=0\) hay \(6t^2-13t+6=0\)

Phương trình bậc 2 trên có 2 nghiệm dương \(t=\frac{3}{2},t=\frac{2}{3}\)

Với \(t=\frac{3}{2}\) thì \(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

Với \(t=\frac{2}{3}\) thì \(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x=-1\)

1/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx=\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=ln\left|x^2+x+1\right||^1_0=ln3\)

2/ \(\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_0\dfrac{5x}{\left(1-x^2\right)^3}dx=-\dfrac{5}{2}\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_0\dfrac{d\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^3}=\dfrac{5}{4}\dfrac{1}{\left(1-x^2\right)^2}|^{\dfrac{1}{2}}_0=\dfrac{35}{36}\)

3/ \(\int\limits^1_0\dfrac{2x}{\left(x+1\right)^3}dx\Rightarrow\) đặt \(x+1=t\Rightarrow x=t-1\Rightarrow dx=dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=1\\x=1\Rightarrow t=2\end{matrix}\right.\)

\(I=\int\limits^2_1\dfrac{2\left(t-1\right)dt}{t^3}=\int\limits^2_1\left(\dfrac{2}{t^2}-\dfrac{2}{t^3}\right)dt=\left(\dfrac{-2}{t}+\dfrac{1}{t^2}\right)|^2_1=\dfrac{1}{4}\)

4/ \(\int\limits^1_0\dfrac{4x-2}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}dx\)

Kĩ thuật chung là tách và sử dụng hệ số bất định như sau:

\(\dfrac{4x-2}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{ax+b}{x^2+1}+\dfrac{c}{x+2}=\dfrac{\left(a+c\right)x^2+\left(2a+b\right)x+2b+c}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c=0\\2a+b=4\\2b+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\a=-c=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x+2}\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}-2\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x+2\right)}{x+2}=ln\dfrac{8}{9}\)

5/ \(\int\limits^1_0\dfrac{x^2dx}{x^6-9}\Rightarrow\) đặt \(x^3=t\Rightarrow3x^2dx=dt\Rightarrow x^2dx=\dfrac{1}{3}dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)

\(I=\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{t^2-9}=\dfrac{1}{18}\int\limits^1_0\left(\dfrac{1}{t-3}-\dfrac{1}{t+3}\right)dt=\dfrac{1}{18}ln\left|\dfrac{t-3}{t+3}\right||^1_0=-\dfrac{1}{18}ln2\)

6/ Tương tự câu 4, sử dụng hệ số bất định ta tách được:

\(\int\limits^2_1\dfrac{2x-1}{x^2\left(x+1\right)}dx=\int\limits^2_1\left(\dfrac{3x-1}{x^2}-\dfrac{3}{x+1}\right)dx=\int\limits^2_1\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x+1}\right)dx\)

\(=\left(3ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+\dfrac{1}{x}\right)|^2_1=3ln\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}\)

1.a/ \(\left\{{}\begin{matrix}3^{x+1}>0\\5^{x^2}>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm

b/ Mình làm câu b, câu c bạn tự làm tương tự, 3 câu này cùng dạng

Lấy ln hai vế:

\(ln\left(3^{x^2-2}.4^{\dfrac{2x-3}{x}}\right)=ln18\Leftrightarrow ln3^{x^2-2}+ln4^{\dfrac{2x-3}{x}}-ln18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)ln3+\dfrac{2x-3}{x}2ln2-ln\left(2.3^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^3ln3-2x.ln3+4x.ln2-6ln2-x.ln2-2x.ln3=0\)

\(\Leftrightarrow x^3ln3-4x.ln3+3x.ln2-6ln2=0\)

\(\Leftrightarrow x.ln3\left(x^2-4\right)+3ln2\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2ln3+2x.ln3+3ln2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\Rightarrow x=2\\x^2ln3+2x.ln3+3ln2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1): \(\left(x^2+2x\right)ln3=-3ln2\Leftrightarrow x^2+2x=\dfrac{-3ln2}{ln3}=-3log_32\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1-3log_32=log_33-log_38=log_3\dfrac{3}{8}< 0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất \(x=2\)

2/ Pt đã cho tương đương:

\(2017^{sin^2x}-2017^{cos^2x}=cos^2x-sin^2x\)

\(\Leftrightarrow2017^{sin^2x}+sin^2x=2017^{cos^2x}+cos^2x\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=2017^t+t\) (\(0\le t\le1\))

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=2017^t.ln2017+1>0\) \(\forall t\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)

\(\Rightarrow sin^2x=cos^2x\Rightarrow cos^2x-sin^2x=0\Rightarrow cos2x=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)

Thế k=0; k=1 ta được 2 nghiệm thuộc đoạn đã cho là \(x=\dfrac{\pi}{4};x=\dfrac{3\pi}{4}\)

\(\Rightarrow\) tổng nghiệm là \(T=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}=\pi\)