Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2+3x}+x^2-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(\frac{x^2+1}{x^2+3x}+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(\frac{2x^2+3x+1}{x^2+3x}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{x\left(x+3\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x+1\right)^2}{x\left(x+3\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -3\\x=-1\\-\frac{1}{2}\le x< 0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)
b/
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(\frac{-2-2x}{x}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-2.\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2}{x}\ge0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x=-1\\0< x\le1\\x\ge2\end{matrix}\right.\)
c/
\(\Leftrightarrow\left(\frac{4\left(x-1\right)-2x}{x\left(x-1\right)}\right)\left(\frac{x^2+1-2x}{x}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2x-4\right)\left(x-1\right)^2}{x^2\left(x-1\right)}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)^2}{x^2\left(x-1\right)}\le0\)
\(\Rightarrow1< x\le2\)
\(\begin{cases}x^2\left(x-3\right)-y\sqrt{y-3}=-2\left(1\right)\\3\sqrt{x-2}=\sqrt{y\left(y+8\right)}\left(2\right)\end{cases}\) Điều kiện \(x\ge2;y\ge0\) (*)
Khi đó (1) \(\Leftrightarrow x^3-3x^2+2=y\sqrt{y+3}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3-3\left(x-1\right)=\left(\sqrt{y+3}\right)^3-3\sqrt{y+3}\left(3\right)\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^3-3t\) trên \(\left(1;+\infty\right)\)
Ta có \(f\left(t\right)=3t^2-3=3\left(t^2-1\right)\ge0\) với mọi \(t\ge1\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)
lời giải
a)
\(\left(x+1\right)\left(2x-1\right)+x\le2x^2+3\)
\(\Leftrightarrow2x^2+x-1+x\le2x^2+3\)
\(\Leftrightarrow2x\le4\Rightarrow x\le2\)
\(\)b) \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)-x>x^3+6x^2-5\)
\(\left(x^2+3x+2\right)\left(x+3\right)-x>x^3+6x^2-5\)
\(x^3+3x^2+3x^2+9x+2x+6-x>x^3+6x^2-5\)
\(10x+6>-5\Rightarrow x>-\dfrac{11}{10}\)
c)Đkxđ: x≥0
x+√x>(2√x+3)(√x−1)
⇔x+√x>2x+√x−3
⇔x−3>0
⇔x>3. (tmđk).
\(\sqrt[3]{3-x^3}=2x^3+x-3\Leftrightarrow3-x^3=\left(2x^3+x-3\right)^3\)
Đặt \(y=2x^3+x-3\Rightarrow x^3=\frac{y-x+3}{2}\)
Phương trình trở thành : \(3-\frac{y-x+3}{2}=y^3\Leftrightarrow2y^3=3+x-y\)
Từ đó ta có hệ \(\begin{cases}2x^3=30x+y\left(1\right)\\2y^3=3+x-y\end{cases}\)
\(\Rightarrow x^3-y^3=y-x\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+1\right)=0\)
Do \(x^2+xy+y^2+1>0\) nên x=y, thay vào (1) ta được \(x=y=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\)
\(\frac{2x-5}{!x-3!}+1>0\Leftrightarrow\frac{2x-5+!x-3!}{!x-3}>0\)
do !x-3!>0 mọi x khác 3=> Bất phương trình tương đương
\(2x-5+!x-3!>0\Leftrightarrow!x-3!>5-2x\)
TH(1) x<3 <=>3-x>5-2x=> x>2
Kết luận(1) \(2< x< 3\)
TH(2) \(x\ge3\Leftrightarrow x-3>5-2x\Rightarrow3x>8\Rightarrow x>\frac{8}{3}\)
Kết luận(2) \(x\ge3\)
(1)và(2) nghiệm của Bpt là: x>2
Lời giải
a) \(\sqrt{\left(x-4\right)^2\left(x+1\right)}>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne4\\x+1>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne4\\x>-1\end{matrix}\right.\)
b) \(\sqrt{\left(x+2\right)^2\left(x-3\right)}>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-2\\x-3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x>3\)
\(\dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2\cdot\left(x^2-x+1\right)}}\ge1\) ( x \(\ge0\))
\(\Rightarrow x-\sqrt{x}\ge1-\sqrt{2\left(x^2+x+1\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\ge\sqrt{2\left(x^2+x+1\right)}\)
\(\Rightarrow x\left(x-2\sqrt{x}+1\right)\ge2\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow x^2-2x\sqrt{x}+x-2x^2-2x-2\ge0\)
\(\Rightarrow-x^2-2x\sqrt{x}-x\ge0\)
\(\Rightarrow-\left(x^2-2x\sqrt{x}+x\right)\le0\)
\(\Rightarrow-\left(x-\sqrt{x}\right)^2\le0\)
Vì \(\left(x-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow-\left(x-\sqrt{x}\right)^2\le0\)
Bất đẳng thức này đúng, mà các bất đẳng thức trên là tương đương
=> Với mọi \(x\ge0\), ta được \(\dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2\left(x^2-x+1\right)}}\ge1\)
ĐKXĐ: x>=2
Ta có: \(\sqrt[3]{3-x} \ge 1 - \sqrt{x-2}\)
=>\(\sqrt[3]{3-x} + \sqrt{x-2} \ge 1\)
Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{3-x}+\sqrt{x-2}\)
Xét hàm số f(x) trên txđ [2;+∞)
\(f(2) = \sqrt[3]{3-2} + \sqrt{2-2} = 1 + 0 = 1\)
Khi x>2 thì ta có:
hàm số \(g(x) = \sqrt[3]{3-x}\) nghịch biến trên R vì 3-x giảm khi x tăng
Hàm số \(h(x) = \sqrt{x-2}\) đồng biến khi x>2
\(f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}\)
TH1: 2<=x<=3
2<=x<=3
=>0<=x-2<=1
=>\(\sqrt{x-2}\le1\)
=>\(\frac{1}{2\sqrt{x-2}}\ge\frac12\)
2<=x<=3
=>-2>=-x>=-3
=>-2+3>=-x+3>=-3+3
=>0<=-x+3<=1
=>\(\left(3-x\right)^2\le1\)
=>\(3\sqrt[3]{(3-x)^2}\le3\implies\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}\ge\frac{1}{3}\)
Khi x=3 thì \(f(3) = \sqrt[3]{0} + \sqrt{1} = 1 \ge 1\)
f(2)=1; f(3)=1
x>=2
=>x-2>=0
=>\(\sqrt{x-2}\ge0\)
x<=3
=>x-3<=0
=>3-x>=0
=>\(\sqrt[3]{3-x}\ge0\)
Đặt \(a=\sqrt[3]{3-x}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0\)
=>\(a^3+b^2=3-x+x-2=1\)
Ta có: \(0\le a\le1;0\le b\le1\)
=>\(a\ge a^3;b\ge b^2\)
=>\(a+b\ge a^3+b^2=1\)
=>f(x)>=1∀x∈[2;3](1)
TH2: x>3
x>3
=>x-2>1
=>\(\sqrt{x-2}>1\)
x>3
=>3-x<0
=>\(\sqrt[3]{3-x}<0\)
Đặt t=x-3(Điều kiện: t>0)
=>x-2=t+1
Khi x=11 thì t=11-3=8
\(f(11) = \sqrt[3]{3-11} + \sqrt{11-2} = \sqrt[3]{-8} + \sqrt{9} = -2 + 3 = 1\)
Xét phương trình f(x)=1 trên khoảng (3;+∞)
\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}=0\)
=>\(3\sqrt[3]{(x-3)^2}=2\sqrt{x-2}\)
=>f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm trên khoảng (3;+∞)
Vì f'(x) đổi dấu đúng một lần nên f(x) đạt cực đại trên khoảng (3;+∞)
f(3)=1; f(11)=1
=>f(x)>1 trên khoảng (3;11]
Với x>11 thì f(x)>1
Do đó: Khi 3<x<=11 thì f(x)>=1(2)
Từ (1),(2) suy ra f(x)>=1 khi 2<=x<=11