Đặt \(t=\log_2x\) ta có bất phương trình :

\(2t^3+5t^2+t-2\ge0\)

hay 

\(\left(t+2\right)\left(2t^2+t-1\right)\ge0\)

Bất phương trình này có nghiệm -2\(\le t\)\(\le-1\) hoặc \(t\ge\frac{1}{2}\)

Suy ra nghiệm của bất phương trình là :

\(\frac{1}{4}\le x\)\(\le\frac{1}{2}\) hoặc \(x\ge\sqrt{2}\)

Với điều kiện x>0 ta có :

\(\Leftrightarrow\) \(\left(\log_2x-2\right)\left(\log_7x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\log_2x-2=0\\\log_7x-1=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\log_2x=2\\\log_7x=1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\x=7\end{cases}\)

Cùng thỏa mãn điều kiện x>0

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=4; x=7

d) Điều kiện x>0. Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có :

\(\log_2x+\log_3x+\log_4x=\log_{20}x\)

\(\Leftrightarrow\log_2x+\frac{\log_2x}{\log_23}+\frac{\log_2x}{\log_24}=\frac{\log_2x}{\log_220}\)

\(\Leftrightarrow\log_2x\left(1+\frac{1}{\log_23}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\log_220}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\log_2x\left(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2\right)=0\)

Ta có \(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2>\frac{3}{2}+0-1>0\)

Do đó, từ phương trình trên, ta phải có \(\log_2x=0\) hay \(x=2^0=1\)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=1\)

c) Điều kiện x>0, đưa về cùng cơ số 5, ta có :

\(\log_5x^3+3\log_{25}x+\log_{\sqrt{25}}\sqrt{x^3}=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\log_{5^2}x+\log_{5^{\frac{3}{2}}}x^{\frac{3}{2}}=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\frac{1}{2}\log_5x+\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\log_5x=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}\log_5x=\frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow\log_5x=1\)

\(\Leftrightarrow x=5^1=5\) thỏa mãn

Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệ duy nhất \(x=5\)

Điều kiện x>0. Nhận thấy x=2 là nghiệm. 

Nếu x>2 thì

\(\frac{x}{2}>\frac{x+2}{4}>1\); \(\frac{x+1}{3}>\frac{x+3}{5}>1\)

Suy ra 

\(\log_2\frac{x}{2}>\log_2\frac{x+2}{4}>\log_4\frac{x+2}{4}\)hay :\(\log_2x>\log_2\left(x+2\right)\)

\(\log_3\frac{x+1}{3}>\log_3\frac{x+3}{5}>\log_5\frac{x+3}{5}\) hay \(\log_3\left(x+1\right)>\log_5\left(x+3\right)\)

Suy ra vế trái < vế phải, phương trình vô nghiệm.

Đáp số x=2

Điều kiện x>0. Nhận thấy x=2 là nghiệm

- Nếu x>2 thì : \(\log_2x>\log_22=1;\log_5\left(2x+1\right)>\log_5\left(2.2x+1\right)=1\)

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Tương tự khi 0<x<2

Đáp số x=2

\(log_2x-log_2x.log_3x+log_3x-1>0\)

\(\Leftrightarrow log_2x\left(1-log_3x\right)-\left(1-log_3x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(log_2x-1\right)\left(1-log_3x\right)>0\)

\(\Rightarrow2< x< 3\)

a) Đặt t = 13^x > 0 ta được phương trình:

13t² – t – 12 = 0 ⇔ (t – 1)(13t + 12) = 0

⇔ t = 1 ⇔ 13^x = 1 ⇔ x = 0

b)

Chia cả hai vế phương trình cho 9^x ta được phương trình tương đương

Đặt (t > 0) , ta được phương trình:

(1 + t)(1 + 3t) = 8t ⇔ 3t² – 4t + 1 = 0 ⇔

Với ta được nghiệm

Với t = 1 ta được nghiệm x = 0

c) Điều kiện: x > 2

Vì nên phương trình đã cho tương đương với:

d) Điều kiện: x > 0

log₂²x – 5log₂x + 6 = 0

⇔(log₂x – 2)(log₂x – 3) = 0

⇔ x ∈ {4, 8}