Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào sau đúng ?

a) \(\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GI}\)

b) \(\overrightarrow{IG}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}\)

c) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}\)

d) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}\)

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Lấy 2 điểm I,  J sao cho \(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\), \(2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)

a) CM: M, N, J thẳng hàng với J là trung điểm của BI

b) Gọi E là điểm thuộc AB sao cho \(\overrightarrow{AE}=k.\overrightarrow{AB}\). Xác định k sao cho C, E, J thẳng hàng

1) Cho tam giác ABC đều cạnh 5. M là trung điểm BC. I là trung điểm AM. Tính \(\left|\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI}\right|\)

2) Cho tam giác ABC đều cạnh 7. G là trọng tâm. M là trung điểm AB. Tính \(\left|\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AM}\right|\)

3) Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp (O). Tính \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}\)

Cho tam giác ABC nội tiếp tâm O, H là trực tâm, G là trọng tâm, D là điểm đỗi xứng A qua O. CMR :

1) \(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HD}\) 

2) \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}\) 

3) \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)

4) \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)

kẾT LUẬN J VỀ 3 ĐIỂM O H G

Cho tam giác ABC có O,G,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,trọng tâm,trực tâm và I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác.Chứng minh các hệ thức sau

a)\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)

b)\(\overrightarrow{OH=3\overrightarrow{OG}}\)

c)\(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{OH}\)

d)\(\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OI}\)

Cho tam giác đều ABC, tâm O. M là một điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu vuông góc của M xuống 3 cạnh của tam giác là D, E, F. Từ M kẻ ba đường thẳng song song với 3 cạnh của tam giác. Các giao điểm với các cạnh lần lượt là: I, J, K, L, P, Q (D là trung điểm IQ; E là trung điểm KP; E là trung điểm KP; F là trung điểm LJ). Chứng minh:

\(\overrightarrow{MD}=\frac{\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}}{2}\);\(\overrightarrow{ME}=\frac{\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MP}}{2}\);\(\overrightarrow{MF}=\frac{\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{ML}}{2}\)