bài này có lập được bảng biến thiên, nhưng chắc chưa học nên làm cách cơ bản

ta có \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\le\frac{x^2}{2x\sqrt{yz+1}+x}=\frac{x}{2\sqrt{yz+1}+1}\) dấu "=" xảy ra khi x²=yz+1

ta lại có \(2=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^3-2x\left(y+z\right)-2yz\ge\left(x+y+z\right)^3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}-2yz\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le4\left(1+yz\right)\Rightarrow x+y+z\le2\sqrt{1+yz}\)

\(\Rightarrow\frac{y+z}{x+y+z+1}=1-\frac{x+1}{x+y+z+1}\le1-\frac{x+1}{2\sqrt{yz+1}+1}\)

do đó \(P\le\frac{x}{2\sqrt{yz+1}+1}+1-\frac{x+1}{2\sqrt{yz+1}+1}-\frac{1+yz}{9}=1-\frac{1}{2\sqrt{yz+1}+1}-\frac{1+yz}{9}\)

\(\le1-\frac{1}{yz+1+1+1}-\frac{1+yz}{9}=\frac{11}{9}-\left(\frac{1}{yz+3}+\frac{yz+3}{9}\right)\le\frac{11}{9}-\frac{2}{3}=\frac{5}{9}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=1;y=1;z=0\\x=1;y=0;z=1\end{cases}}\)

\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:

\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)

\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3

Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3

Bỏ chữ "Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz,ta có:"giùm mình,nãy đánh nhầm ở bài làm trước mà quên xóa đi!

Ta sẽ c/m: \(\frac{x}{x+1}\le\frac{9}{16}x+\frac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}-\frac{9}{16}x-\frac{1}{16}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(3x-1\right)^2}{16\left(x+1\right)}\le0\) (đúng)

Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(Q\le\frac{9}{16}\left(x+y+z\right)+\frac{3}{16}=\frac{9}{16}+\frac{3}{16}=\frac{3}{4}\)

Vậy Q max = ³/₄ khi x = y  =z  =¹/₃

sao lại viết thế kia

học tốt nha

\(Q=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\le3-\frac{16}{x+y+z+6}=\frac{1}{3}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)\)

Ta có: \(x+y+z\ge12\), với \(x,y,z>0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(P=\dfrac{x}{\sqrt y}+\dfrac{y}{\sqrt z}+\dfrac{z}{\sqrt x}\)

\(\displaystyle P\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2}{\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z}\)

Suy ra \(P\ge\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\).

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2\ge x+y+z\ge12\).

Suy ra \(P\ge2\sqrt3\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\).

Khi đó \(P=\dfrac44+\dfrac44+\dfrac44=3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(3\), đạt được khi \(x=y=z=4\).

má ơi cái này em vẫn là lớp 3

trời ơi

Ta có: \(x^2+y^2+z^2=1\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\(A=\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}\)

\(\displaystyle A\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{(y^2+z^2)+(z^2+x^2)+(x^2+y^2)}\)

\(\displaystyle A\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}\)

\(\displaystyle A\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{2}\)

Mà \(x^2+y^2+z^2=1\), nên:

\((x+y+z)^2\ge x^2+y^2+z^2=1\)

Suy ra \(A\ge\dfrac12\).

Tuy nhiên, đánh giá trên chưa đủ để tìm giá trị nhỏ nhất chính xác. Ta xét \(x\to1,\ y,z\to0^+\), khi đó \(A\to1\).

Vậy A không có giá trị nhỏ nhất, cận dưới đúng là \(1\).