1. Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
   1. Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
2. Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC.
3. Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
   1. Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
   2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
   3. Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Cái này CM tứ giác nội tiếp 9 CM lớp 8 hơi khó đấy

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm E sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEA. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

\(\frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}\)

Suy ra \(BA.CD=EA.BD\left(1\right)\)

Mặt khác, tam giác EBC và tam giác ABD cũng đồng dạng do có

\(\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}\) và góc EBC= góc ABD

Từ đó

\(\frac{EC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)

Suy ra

\(AD.BC=EC.BD\left(2\right)\)

Cộng (1) và (2) ta suy ra

\(AB.CD+AD.BC=BD.\left(EA+EC\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra \(AB.CD+AD>BC\ge AC>BD\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptoleme.

Lớp 8 đã học tứ giác nội tiếp đâu mà bạn đã kết luận như vậy rồi.Bạn làm theo ý tưởng trên Wikipedia cũng phải chỉ rõ cách dựng điểm E ; kết luận dấu = xảy ra khi E,C,A thẳng hàng rồi từ đó suy ra tổng 2 góc đối của tứ giác bằng 180⁰