Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô mầu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô mầu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, ....., n, .....trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô mầu của Mickey có thể tiến ra vô hạn

a) Gọi \(u_n\) là diện tích của hình vuông mầu xám thứ n. Tính \(u_1,u_2,u_3\) và \(u_n\) ?

b) Tính \(\lim\limits S_n\) với \(S_n=u_1+u_2+u_3+....u_n\)

Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu \({u_n}\) (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ \(n\).

a) Với \(n\) như thế nào thì \({u_n}\) vượt quá 10000; 1000000?

b) Cho hình có diện tích \(S\). Với \(n\) như thế nào thì \({u_n}\) vượt quá \(S\)?

Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(C_2\) (h44). Từ hình vuông \(C_2\) lại tiếp như trên để được hình vuông \(C_3\),.......Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1,C_2,C_3,.....C_n,....\)

Gọi \(a_n\) là độ dài cạnh của hình vuông \(C_n\). Chứng minh dãy dố \(\left(a_n\right)\) là một cấp số nhân ?

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. 

a) Tính diện tích \({S_n}\)  của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. 

Bài 6. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mp(ABC)
tại H. Chứng minh rằng
a) OA⊥BC,OB⊥AC,OC⊥AB
b) Gọi K là giao điểm của AH với BC. Chứng minh rằng AK⊥BC
c) Gọi M là giao điểm của CH với AB. Chứng minh rằng AB⊥MC . Từ đó suy ra H là trực tâm tam giác
ABC.
d)
Bài 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chứ nhật có SA vuông góc với mp(ABCD). Chứng minh
rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=DC=AB/2 . Gọi I là trung điểm của đoạn AB, SA vuông góc với mặt đáy. Chứng minh rằng
a) Tam giác ABC vuông tại C
b) CI⊥SB,DI⊥SC
c)CB⊥(SAC)

và các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, gọi M là điểm thuộc đoạn SC sao cho MC=2MS. Biết AB=a, AC=a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM theo a. 

- e đã tính được thể tích vậy còn khoảng cách làm ntn ạ

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông  $C_1$ (hình bên). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục như trên để được hình vuông $C_3$… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông  $C_1, C_2, C_3, ..., C_n$

Gọi $a_n$ là độ dài cạnh của hình vuông $Cn$. Chứng minh dãy số $\left(a_n\right)$ là một cấp số nhân.