tham khảo:

a) Vì M', N' tương ứng là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng (P) nên hình chiếu của a trên mặt phẳng (P) là a’ đường thẳng đi qua hai điểm M', N'.

b) b vuông góc với M'N' và b vuông góc với MM' (do M' là hình chiếu của M trên (P)); M'N' cắt MM' tại M' do đó b vuông góc mặt phẳng tạo bởi M'N', MM' suy ra b có vuông góc với a.

c) b vuông góc với a và b vuông góc với MM' (do M' là hình chiếu của M trên (P)); a cắt MM' tại M do đó b vuông góc mặt phẳng tạo bởi a, MM' suy ra b có vuông góc với M'N'.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,a,0), D(0,a,0)$

Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy là trung điểm $AB$:

$H = (a,0,0)$ ⇒ $S = (a,0,h)$

Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA_z}{\sqrt{(C_x - S_x)^2 + (C_y - S_y)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{(2a - a)^2 + (a - 0)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2}} = \dfrac{h}{a \sqrt{2}}$

Vậy $h = a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a \sqrt{6}$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = (2a - a, 0 - 0, 0 - a\sqrt{6}) = (a,0,-a\sqrt{6})$

$\vec{AC} = C - A = (2a - 0, a - 0, 0 - 0) = (2a, a, 0)$

Góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \theta = \dfrac{\vec{SB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{SB}| |\vec{AC}|}$

Tính:

$\vec{SB} \cdot \vec{AC} = a\cdot 2a + 0\cdot a + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = 2a^2$

$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 0 + 6a^2} = \sqrt{7} a$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + a^2 + 0} = \sqrt{5} a$

$\cos \theta = \dfrac{2a^2}{a \sqrt{7} \cdot a \sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{35}}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:

$\theta = \arccos\left(\dfrac{2}{\sqrt{35}}\right)$

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AH \bot \left( P \right)\\BK \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AH\parallel BK\)

Mà \(AB\parallel HK\)

\( \Rightarrow ABKH\) là hình bình hành có \(AH \bot \left( P \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \widehat {AHK} = {90^ \circ }\)

Vậy \(ABKH\) là hình chữ nhật.

Vậy \(AH = BK\).

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AH \bot \left( Q \right)\\BK \bot \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AH\parallel BK\)

Mà \(AB\parallel HK\)

\( \Rightarrow ABKH\) là hình bình hành có \(AH \bot \left( Q \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \widehat {AHK} = {90^ \circ }\)

Vậy \(ABKH\) là hình chữ nhật.

Vậy \(AH = BK\).

Câu a) đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

Câu b) sai. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu c) sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Câu d) sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

gáy sách có vuông góc với mặt bàn

Mặt bìa trùng với mặt bàn

tham khảo:

a) AA’ vuông góc với mặt phẳng (P)

b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là giao điểm của a với (P).

Đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P)

Vì: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\)