hình thành chuỗi biến hóa sau, ghi rõ đk phản ứng(nếu có)

S\(\rightarrow\)SO\(_2\)\(\rightarrow\)SO\(_3\rightarrow\)H\(_2\)SO\(_4\)\(\rightarrow\)CuSO\(_4\)\(\rightarrow\)BaSO\(_4\)

\(M^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{2y}\right)^2=\left(\frac{1}{_{\sqrt{\alpha}}}.\sqrt{\alpha x}+\sqrt{2y}\right)^2< =\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\left(\alpha x+2y\right)\)

\(\Rightarrow M^4\le\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha x+2y\right)^2\le\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)\)

Dấu bằng xảy ra => \(\hept{\begin{cases}\frac{\alpha x}{\frac{1}{\alpha}}=\frac{2y}{1}\\\frac{\alpha}{x}=\frac{2}{y}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\alpha^2x=2y\\\alpha=\frac{2x}{y}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\alpha^2}{2}=\frac{y}{x}\\\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{y}\end{cases}}}\Rightarrow\frac{\alpha^2}{2}=\frac{1}{\frac{\alpha}{2}}\Rightarrow\alpha=\sqrt[3]{4}\)  

Suy ra max = \(\sqrt[4]{\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)}\) với \(\alpha=\sqrt[3]{4}\)

Đề bài thiếu n là số tự nhiên nhé

_ Với \(n=0\Rightarrow S\left(0\right)=1^0+2^0+3^0+4^0=4⋮4.\)

_Với \(n=1\Rightarrow S\left(1\right)=1^1+2^1+3^1+4^1=10\equiv2\left(mod4\right)\)

_Vơi \(n\ge2\Rightarrow\hept{\begin{cases}1^n\equiv1\left(mod4\right)\\2^n⋮4\\4^n⋮4\end{cases}}\)

+ Với n lẻ, ta có: \(3\equiv-1\left(mod4\right)\Leftrightarrow3^n\equiv\left(-1\right)^n\equiv-1\left(mod4\right)\)(vì n lẻ)

\(\Rightarrow S\left(n\right)\equiv1+0-1+0\equiv0\left(mod4\right)\)

+ Với n chẵn, ta có \(3\equiv-1\left(mod4\right)\Leftrightarrow3^n\equiv\left(-1\right)^n\equiv1\left(mod4\right)\)(vì n chẵn)

\(\Rightarrow S\left(n\right)\equiv1+0+1+0\equiv2\left(mod4\right)\)

Vậy: -với n=0 và n là số tự nhiên le lớn hơn 1 thì \(S\left(n\right)⋮4\)

-vơi n=1 và  n là số tự nhiên chẵn lớn hơn 1 thì \(S\left(n\right)\equiv2\left(mod4\right)\)

Theo cosi tao có: \(x^2+1\ge2x\Rightarrow x^2\ge2x-1\left(1\right)\) ; \(y^2+1\ge2y\Rightarrow y^2\ge2y-1\left(2\right)\)

\(z^2+1\ge2z\Rightarrow z^2\ge2z-1\left(3\right)\)

Lại có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+xz+yz\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+xz+yz\right)\left(4\right)\)

Cộng vế theo vế của (1) (2) (3) (4) ta có \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)-3=2.6-3=9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\left(dpcm\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=y^2+1\left(1\right)\\y+\frac{1}{y}=z^2+1\left(2\right)\\z+\frac{1}{z}=x^2+1\left(3\right)\end{cases}}\left(ĐKXĐ:x;y;z\ne0\right)\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}=y^2+1\)

              \(\Rightarrow x=\frac{x^2+1}{y^2+1}>0\)

Tương tự \(y=\frac{y^2+1}{z^2+1}>0\)

                \(z=\frac{z^2+1}{x^2+1}>0\)

Áp dụng bđt cô-si có \(x+\frac{1}{x}\ge2\) 

\(\Rightarrow y^2+1\ge2\)

\(\Rightarrow y\ge1\)

Tương tự \(x;z\ge1\)

ta có \(xyz=\frac{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}=1\)

Mà \(x;y;z\ge1\Rightarrow xyz\ge1\)

Do đó dấu "=" khi x = y = z = 1 

Yey =)))

Theo bdt bunhiacopxki

\(T^2=\left(x\sqrt{4-y^2}+y\sqrt{4-z^2}+z\sqrt{4-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(12-x^2-y^2-z^2\right)\)

Đặt \(x^2+y^2+z^2=t\), bài toán ban đầu trở thành 

Cho t thuộc khoảng [0;12] tìm max của \(T^2=t\left(12-t\right)\)

Ta có\(\left(t-6\right)^2\ge0\Leftrightarrow t^2-12t+36\ge0\Rightarrow t^2-12t\ge-36\Rightarrow-t^2+12t\le36\)

\(\Rightarrow t\left(12-t\right)\le36\Leftrightarrow T^2\le36\Rightarrow T\le6\) Vậy max=6, dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất : \(\frac{x^2+6x-22}{5}\)

\(\frac{x^2+6x-22}{5}=\frac{x^2+6x+9-9-22}{5}=\frac{\left(x+3\right)^2-31}{5}\)

Đa thức nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2-31\)nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=0\Rightarrow x+3=0\Rightarrow x=-3\)

\(\Rightarrow\)đa thức nhỏ nhất \(=\frac{-31}{5}\)\(\Leftrightarrow x=-3\)

Ké chút ạ

ta có:

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a+b+c\)

lại có:

\(\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(b^2+a^2+c^2\right)\ge\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right).\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\ge9\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)

\(\Rightarrow24\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a+b+c+69\ge12\sqrt[3]{a+7}+...\)