a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đo: ΔAMB vuông tại M

=>MA⊥MB

mà OC⊥AM

nên OC//MB

XétΔMAB vuông tại M có MH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=MA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABE vuông tại A có AM là đường cao

nên \(ME\cdot MB=MA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AH\cdot AB=ME\cdot MB\)

a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: OC là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là tia phân giác của góc MOB(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔCOD cân tại O

a) Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+MD=CD(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

mà DM=DB(cmt)

nên AC+BD=CD(đpcm)

b) Gọi G là tâm của đường tròn đường kính CD

Xét (G) có CD là đường kính

nên G là trung điểm của CD

Ta có: AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))

BD⊥BA(BD là tiếp tuyến của (O))

Do đó: AC//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác ACDB có AC//DB(cmt)

nên ACDB là hình thang có hai đáy là AC và DB(Định nghĩa hình thang)

Xét (O) có AB là đường kính

nên O là trung điểm của AB

Hình thang ACDB(AC//DB) có 

G là trung điểm của cạnh bên CD(cmt)

O là trung điểm của cạnh bên AB(cmt)

Do đó: GO là đường trung bình của hình thang ACDB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒GO//AC//BD và \(GO=\dfrac{AC+BD}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)

Ta có: GO//AC(cmt)

AC⊥AB(AC là tiếp tuyến của (O))

Do đó: GO⊥AB(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

hay GO⊥OA

Xét (O) có 

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{COM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{AOM}\)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)

Ta có: \(\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC và OD)

hay \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)

nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

mà OG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(G là trung điểm của CD)

nên \(OG=\dfrac{CD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(CG=\dfrac{CD}{2}\)(G là trung điểm của CD)

nên OG=CG

⇔OG=R'

hay O∈(G)

Xét (G) có 

O∈(G)

AO⊥GO tại O(cmt)

Do đó: AO là tiếp tuyến của (G)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

⇔AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD(đpcm)

Hướng dẫn, ghét hình học phẳng:

Để ý rằng AB vuông góc (M) tại H nên AH, BH cũng là các tiếp tuyến của (M)

- Nối MA, MB

- \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên suy ra...

- AH, AC là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)

Tương tự: \(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)

\(\Rightarrow\widehat{CMD}=2\left(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}\right)\)

b. AC, AH, BD, BH là các tiếp tuyến nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC=AH\\BD=BH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC+BD=...\)

c.

AC song song BD (cùng vuông CD), O và M lần lượt là trung điểm AB, CD 

\(\Rightarrow OM\) là đtb hình thang vuông ABDC \(\Rightarrow OM\) vuông CD

Hệ thức lượng tam giác vuông OMK: \(OM^2=OH.OK\)

Mà \(OM=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow...\)

Do đây là câu hỏi khá lâu rồi, và mình cũng biết cách làm rồi nên mình xin chia sẻ cách làm câu hỏi này nhé:

a: Xét (O) có

AH,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AH=AC và MA là phân giác của góc CMH

MA là phân giác của góc CMH

=>\(\hat{CMH}=2\cdot\hat{AMH}\)

Xét (O) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và MB là phân giác của góc HMD

MB là phân giác của góc HMD

=>\(\hat{HMD}=2\cdot\hat{HMB}\)

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

\(\hat{CMD}=\hat{CMH}+\hat{DMH}\)

\(=2\left(\hat{AMH}+\hat{BMH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>C,M,D thẳng hàng

b: AC+BD

=AH+HB

=AB không đổi

a: ΔOAC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM⊥AC tại M

Xét tứ giác CMOH có \(\hat{CMO}+\hat{CHO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CMOH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CO

=>C,M,O,H cùng thuộc một đường tròn

Tâm là trung điểm của CO

b: ΔEBO vuông tại B

=>\(BO^2+BE^2=EO^2\)

=>\(EB^2=EO^2-OB^2=EO^2-R^2\) (1)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC⊥AE tại C

Xét ΔEBA vuông tại B có BC là đường cao

nên \(EC\cdot EA=EB^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(EC\cdot EA=EO^2-R^2\)

c: Ta có: CH⊥AB

BE⊥BA

Do đó: CH//BE

Xét ΔAFE có CN//FE
nên \(\frac{CN}{FE}=\frac{AN}{AF}\) (3)

Xét ΔABF có NH//BF

nên \(\frac{NH}{BF}=\frac{AN}{AF}\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{CN}{FE}=\frac{NH}{FB}\)

mà CN=NH

nen FE=FB

=>F là trung điểm của BE

ΔBCE vuông tại C

mà CF là đường trung tuyến

nên FC=FB

Xét ΔOCF và ΔOBF có

OC=OB

FC=FB

OF chung

Do dó: ΔOCF=ΔOBF

=>\(\hat{OCF}=\hat{OBF}\)

=>\(\hat{OCF}=90^0\)

=>FC là tiếp tuyến tại C của (O)