\(p=\frac{a+b+c}{2}\)

Xét (I) có

BP,BM là các tiếp tuyến

Do đó: BP=BM=p-b

Xét (I) có

AP,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AP=AN=p-a

Xét (I) có

CM,CN là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CN=p-c

\(\vec{IM} = \frac{MC \cdot \vec{IB} + BM \cdot \vec{IC}}{BC} = \frac{(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}}{a}\)

\(\Rightarrow a\vec{IM} = (p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC} \quad (1)\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(b\vec{IN} = (p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA} \quad (2)\)

và \(c\vec{IP} = (p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB} \quad (3)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra:

\(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = \left[(p-c)\vec{IB} + (p-b)\vec{IC}\right] + \left[(p-a)\vec{IC} + (p-c)\vec{IA}\right] + \left[(p-b)\vec{IA} + (p-a)\vec{IB}\right]\)

Hệ số của \(\overrightarrow{IA}\) là:

\((p - c) + (p - b) = 2p - b - c = (a + b + c) - b - c = a\)

Hệ số của \(\overrightarrow{IB}\) là:

\((p - c) + (p - a) = 2p - a - c = (a + b + c) - a - c = b\)

Hệ số của \(\overrightarrow{IC}\) là:

\((p - b) + (p - a) = 2p - a - b = (a + b + c) - a - b = c\)

Do đó: \(a\vec{IM} + b\vec{IN} + c\vec{IP} = a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC}\)

\(=\overrightarrow{0}\)

A B C A' B' C' I D

\(\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{ID}\left(\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}\)

              \(=IA'^2-\left(\overrightarrow{IC'}+\overrightarrow{C'D}\right)\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{IC'}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{C'D}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-IC'^2-0\) (vì AI vuông góc với C'B')

             \(=r^2-r^2=0\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

ĐFCM

1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.