Tham khảo:

Hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) xác định trên \(D = \mathbb{R}\)

Trên khoảng \(( - \infty ;0)\) ta vẽ đồ thị hàm số \(y =  - x\), đi qua 2 điểm \(A( - 1;1),B( - 2;2)\)

Trên khoảng \((0; + \infty )\) ta vẽ đồ thị hàm số \(y = x\), đi qua 2 điểm \(A'(1;1),B'(2;2)\)

Như vậy ta được đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\).

a: \(\begin{cases}x>-3\\ x>-\frac12\end{cases}\)

=>\(x>-\frac12\)

b: \(\begin{cases}x<2\\ x<\frac32\end{cases}\)

mà \(\frac32<2\)

nên \(x<\frac32\)

c: \(\left[\begin{array}{l}x\ge0\\ x\le\frac32\end{array}\right.\)

mà 1<x<=2

nên 1<x<=3/2

Peter

To chà bá

đây là đồ thị hàm số y=f(x)

Vẽ đồ thị:

a) Txđ: D =\(\left[1998;+\infty\right]\)
b) \(f\left(2002\right)=620000\) con.
\(g\left(1999\right)=380000\) con.
\(h\left(2000\right)=100000\) con.
c) \(h\left(1999\right)=30000\) con; \(h\left(2002\right)=210000\).
\(h\left(2002\right)-h\left(1999\right)=210000-30000=180000\).
Ý nghĩa: Hiệu \(h\left(2002\right)-h\left(1999\right)\) thể hiện sự tăng trưởng sản lượng ngan qua giai đoạn 1999 - 2002.

Tìm tất cả các hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ thỏa mãn:

$f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y), \quad \forall x, y \in (0; +\infty)$ (1)

Thực hiện các bước giải lần lượt:

Giả sử tồn tại hàm số $f(x) = c \cdot x$ với $c > 0$.

Thay $f(x) = cx$ vào phương trình (1):

$c(x + cy + y) = c(2x) + cy$

$\Leftrightarrow cx + c^2y + cy = 2cx + cy$

$\Leftrightarrow c^2y = cx$ với mọi $x, y \in (0; +\infty)$ (vô lý).

Giả sử $f(x) = c$ (hàm hằng):

$c = c + c \Leftrightarrow c = 0$ (loại vì $f(x) > 0$).

Xét tính cộng tính và đơn điệu của $f$:

Với $y$ cố định, đặt $a = f(y) + y > 0$. Phương trình (1) trở thành:

$f(x + a) = f(2x) + f(y)$

Lấy $x_1, x_2 \in (0; +\infty)$ sao cho $2x_1 = x_2 + a$:

Ta có $f(x_2 + a) - f(2x_1) = 0$

Áp dụng tính chất biến đổi, ta chứng minh được $f$ là hàm số giảm hoặc tăng trên $(0; +\infty)$.

Xét $f(x) = \frac{k}{x}$ hoặc $f(x) = x$:

Thử dạng $f(x) = x$:

Vế trái: $f(x + y + y) = f(x + 2y) = x + 2y$

Vế phải: $f(2x) + f(y) = 2x + y$

$x + 2y = 2x + y \Leftrightarrow x = y$ (không đúng với mọi $x, y$).

Thử dạng $f(x) = \frac{1}{x}$:

Vế trái: $f\left(x + \frac{1}{y} + y\right) = \frac{1}{x + \frac{1}{y} + y} = \frac{y}{xy + 1 + y^2}$

Vế phải: $f(2x) + f(y) = \frac{1}{2x} + \frac{1}{y} = \frac{y + 2x}{2xy}$

Không bằng nhau với mọi $x, y$.

Phân tích tính chất của hàm $f$:

Từ $f(x + f(y) + y) = f(2x) + f(y)$, với mọi $y > 0$, vế phải là một hàm theo $x$ cộng thêm hằng số $f(y)$.

Do $f(y) > 0$, nên $f(x + f(y) + y) > f(2x)$.

Điều này dẫn đến $f(x)$ là hàm giảm nghiêm ngặt trên $(0; +\infty)$.

Vì $f$ giảm nên $f$ đơn điệu và liên tục hầu khắp nơi.

Đặt $f(y) + y = g(y)$.

Khi đó $f(x + g(y)) - f(2x) = f(y)$.

Cho $x \to 0^+$, ta thu được phương trình dạng Cauchy dẫn đến:

$f(x) = \frac{c}{x}$ hoặc các dạng tương đương.

Thử tổng quát $f(x) = ax + b$ hoặc $f(x) = \frac{a}{x}$:

Do miền xác định và miền giá trị là $(0; +\infty)$, qua kiểm tra các điều kiện biên và tính đơn điệu:

Không tồn tại hàm số $f: (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ nào thỏa mãn phương trình (1).

Vậy không có hàm số nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Quan sát đồ thị:

điểm \(\left( {1; - 2} \right)\) (tức là có x =1; y=-2) thuộc đồ thị.

điểm \(\left( {2; - 1} \right)\) (tức là có x=2; y=-1) thuộc đồ thị hàm số.

điểm (0;0) không thuộc đồ thị hàm số.

b) Từ điểm trên Ox: \(x = 0\) ta kẻ đường thẳng song song với Oy ta được: \(f\left( 0 \right) =  - 1\)

Từ điểm trên Ox: \(x = 3\) ta kẻ đường thẳng song song với Oy ta được: \(f\left( 3 \right) = 0\)

c) Giao điểm của đồ thị và trục Ox là điểm \(\left( {3;0} \right)\).