Đặt biểu thức trên là N, ta có:

\(N=\frac{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}-2}{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}+2}\left(a\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow N=\frac{\left(a^3-3a-2\right)+\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2-4}}{\left(a^3-3a+2\right)+\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2-4}}\)

\(\Leftrightarrow N=\frac{\left(a-2\right)\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)\left(a+1\right)\sqrt{a^2-4}}{\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(a+1\right)\sqrt{a^2-4}}\)

\(\Leftrightarrow N=\frac{\sqrt{a-2}\left(a+1\right)\left[\sqrt{a-2}\left(a+1\right)+\left(a-1\right)\sqrt{a+2}\right]}{\sqrt{a+2}\left(a-1\right)\left[\sqrt{a+2}\left(a-1\right)+\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\right]}\)

\(\Leftrightarrow N=\frac{\sqrt{a-2}\left(a+1\right)}{\sqrt{a+2}\left(a-1\right)}\)

(Chúc bạn học tốt và nhớ tíck cho mình với nhá!)

Bài 1: 

Ta có:

\(\left(a-b+c\right)^3=a^3-b^3+c^3-3a^2b+3a^2c+3ab^2+3b^2c+3ac^2-3bc^2-6abc\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\right)^3=\frac{1}{9}-\frac{2}{9}+\frac{4}{9}-\frac{1}{3}.\sqrt[3]{2}+\frac{1}{3}.\sqrt[3]{4}+\frac{1}{3}.\sqrt[3]{4}+\frac{2}{3}.\sqrt[3]{2}\)

\(+\frac{2}{3}.\sqrt[3]{2}-\frac{2}{3}.\sqrt[3]{4}-\frac{4}{3}=\sqrt[3]{2}-1\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\)

\(A^3=x^3-3x+3A\sqrt[3]{\frac{\left(x^3-3x\right)^2-\left(x^2-1\right)^2\left(x^2-4\right)}{4}}\)

\(A^3=x^3-3x+3A\sqrt[3]{\frac{x^6-6x^4+9x^2-\left(x^6-6x^4+9x^2-4\right)}{4}}\)

\(A^3=x^3-3x+3A\)

\(A^3-x^3-3\left(A-x\right)=0\)

\(\left(A-x\right)\left(A^2+x^2+Ax-3\right)=0\)

\(\Rightarrow A=x\) (do \(\left\{{}\begin{matrix}A>0\\x\ge2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2-3>0\Rightarrow A^2+x^2+Ax-3>0\))

2/ \(a+1=\sqrt{17}\Rightarrow a^2+2a+1=17\Rightarrow a^2+2a-17=-1\)

\(P=\left[a^3\left(a^2+2a-17\right)-a^2+18a-17\right]^{2018}\)

\(=\left(-a^3-a^2+18a-17\right)^{2018}\)

\(=\left(-a\left(a^2+2a-17\right)+a^2+a-17\right)^{2018}\)

\(=\left(a^2+2a-17\right)^{2018}\)

\(=\left(-1\right)^{2018}=1\)

1.

Chú ý rằng:

\(\left(a^3-3a^2+2\right)^2=\left(a^2-2a-2\right)^3+3\left(a^2-2a-2\right)^2\)

Bạn sẽ giải quyết được bài toàn

2.

\(\Leftrightarrow8a^3-6a+\left(2b-2\right)\sqrt{2b+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a\right)^3-3.\left(2a\right)+\left(2a+1\right)\sqrt{2a+1}-3\sqrt{2a+1}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2a=x\\\sqrt{2b+1}=y\end{matrix}\right.\) rồi ghép nhân tử là xong

3.

\(8a^3+2a+\left(2b-6\right)\sqrt{5-2b}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a\right)^3+2a-\left(5-2b\right)\sqrt{5-2b}-\sqrt{5-2b}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2a=x\\\sqrt{5-2b}=y\end{matrix}\right.\)

4.

Câu này ko biết làm kiểu lớp 9, lớp 11 thì được :(

Trước hết từ điều kiện biện luận được \(a>0\)

Khi đó chia 2 vế cho \(a^2\)

\(b\sqrt{1+b^2}-\frac{1}{a^2}\sqrt{1+a^2}=b-\frac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow b\sqrt{1+b^2}-b=\frac{1}{a^2}\sqrt{1+a^2}-\frac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow b\sqrt{1+b^2}-b=\frac{1}{a}\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}-\frac{1}{a}\)

Hàm đặc trưng \(f\left(x\right)=x\sqrt{1+x^2}-x\) đồng biến trên R \(\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)