Câu hỏi của Marlin Le

Question

Đổi dãy số này thành một số bình phương

1 mũ 3 + 2 mũ 3 + 3 mũ 3 + 4 mũ 3 + 5 mũ 3 ... 98 mũ 3 + 99 mũ 3

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

Ta sẽ chứng minh công thức $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(1+2+3+\cdots+n\right)^2$ (1)

Khi n=1 thì ta có: $VT=1^3+2^3+\cdots+n^3=1^3$ ; $VP=\left(1+2+\cdots+n\right)^2=1^2=1$

=> VP=VT

Giả sử (1) đúng với n=k

=>$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\left(1+2+3+\cdots+k\right)^2$

Ta cần chứng minh (1) đúng với n=k+1

Ta có: $1^3+2^3+\cdots+k^3+\left(k+1\right)^3$

$=\left(1+2+3+\cdots+k\right)^2+\left(k+1\right)^3$

$=\left\lbrack\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right\rbrack^2+\left(k+1\right)^3=\frac{k^2}{4}\cdot\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^3$

$=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)=\left(k+1\right)^2\cdot\left(\frac12k+1\right)^2$

$=\left(k+1\right)^2\cdot\left\lbrack\frac12\left(k+2\right)\right\rbrack^2=\frac14\cdot\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2$

$=\left\lbrack\frac12\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right\rbrack^2$ (3)

$\left(1+2+3+\cdots+k+k+1\right)^2$

$=\left\lbrack\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right\rbrack^2=\left\lbrack\frac12\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right\rbrack^2$ (2)

Từ (2),(3) suy ra $1^3+2^3+\cdots+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+3+\cdots+k+k+1\right)^2$

=>(1) đúng với n=k+1

=>$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(1+2+3+\cdots+n\right)^2$ ∀n∈N

Ta có: $1^3+2^3+\cdots+99^3$

$=\left(1+2+3+\cdots+99\right)^2$

$=\left(99\cdot\frac{100}{2}\right)^2=\left(99\cdot50\right)^2=4950^2$

Câu trả lời: