Một cách dựa vào hàm số:
Đặt \(VT=f\left(x\right)\)
- Nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc một trong 3 số bằng 0 thì pt hiển nhiên có nghiệm
- Nếu không có bất cứ cặp nào bằng nhau và đều khác 0, do tính đối xứng của \(f\left(x\right)\) , không làm mất tính tổng quát, giả sử \(a>b>c\) ta có:
\(f\left(a\right)=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Do \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right)\) cùng dấu với \(a\) \(\Rightarrow a.f\left(a\right)>0\) (1)
\(f\left(b\right)=b\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)
Do \(\left(b-c\right)\left(b-a\right)< 0\Rightarrow b.f\left(b\right)< 0\) (2)
\(f\left(c\right)=c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Do \(\left(c-a\right)\left(c-b\right)< 0\Rightarrow c.f\left(c\right)>0\) (3)
- Nếu a, c cùng dấu \(\Rightarrow a;b;c\) cùng dấu \(\Rightarrow ab>0\)
Nhân vế với vế của (1) và (2): \(a.b.f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;b\right)\)
- Nếu \(a,\) c trái dấu \(\Rightarrow ac< 0\) nhân vế với vế của (1) và (3):
\(ac.f\left(a\right).f\left(c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right).f\left(c\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;c\right)\)
Vậy pt đã cho luôn luôn có nghiệm
Bài 1:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x+3}-2+2-\sqrt[3]{3x+5}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}-\frac{3\left(x-1\right)}{4+2\sqrt[3]{3x+5}+\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}}}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}-\frac{3}{4+2\sqrt[3]{3x+5}+\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}}\right)=0\)
\(f\left(1\right)=a+1\)
Để hàm số liên tục trên \([-3;+\infty)\Leftrightarrow\) hàm số liên tục tại \(x=1\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow a+1=0\Rightarrow a=-1\)
Bài 2:
Các hàm số đã cho đều liên tục trên R nên liên tục trên từng khoảng bất kì
a/ Xét \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x+2\right)+2x+3\)
\(f\left(-2\right)=-1\) ; \(f\left(1\right)=5\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0;\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\) với mọi m
b/ \(m\left(sin^3x-cosx\right)=0\)
Nếu \(m=0\) pt có vô số nghiệm (thỏa mãn)
Nếu \(m\ne0\Leftrightarrow f\left(x\right)=sin^3x-cosx=0\)
\(f\left(0\right)=-1\) ; \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\frac{\pi}{2}\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Đáp án B, do giới hạn trái tại 0 bằng âm vô cùng, giới hạn phải tại 0 bằng dương vô cùng
Nhìn quen quen, có phải nó đây ko bạn?
Câu hỏi của Nguyễn Lê Nhật Linh - Toán lớp 11 | Học trực tuyến
Tìm trong CHTT chứ mình cũng ko nhớ là đã làm rồi :))
(b)=b(b−c)(b−a)f(b)=b(b−c)(b−a)
f(c)=c(c−a)(c−b)f(c)=c(c−a)(c−b)
Lại có f(a).f(b).f(c)=−abc(a−b)2(b−c)2(c−a)2f(a).f(b).f(c)=−abc(a−b)2(b−c)2(c−a)2
Vì vậy tồn tại 1 trong 3 số đó âm hay phương trình luôn có nghiệm.
Do hệ số A của pt dương
Nên:
a.f(α)<0a.f(α)<0 thì pt luôn có nghiệm thỏa x1<α<x2x1<α<x2
Một cách dựa vào hàm số:
Đặt VT=f(x)VT=f(x)
- Nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc một trong 3 số bằng 0 thì pt hiển nhiên có nghiệm
- Nếu không có bất cứ cặp nào bằng nhau và đều khác 0, do tính đối xứng của f(x)f(x) , không làm mất tính tổng quát, giả sử a>b>ca>b>c ta có:
f(a)=a(a−b)(a−c)f(a)=a(a−b)(a−c)
Do (a−b)(a−c)>0⇒f(a)(a−b)(a−c)>0⇒f(a) cùng dấu với aa ⇒a.f(a)>0⇒a.f(a)>0 (1)
f(b)=b(b−c)(b−a)f(b)=b(b−c)(b−a)
Do (b−c)(b−a)<0⇒b.f(b)<0(b−c)(b−a)<0⇒b.f(b)<0 (2)
f(c)=c(c−a)(c−b)f(c)=c(c−a)(c−b)
Do (c−a)(c−b)<0⇒c.f(c)>0(c−a)(c−b)<0⇒c.f(c)>0 (3)
- Nếu a, c cùng dấu ⇒a;b;c⇒a;b;c cùng dấu ⇒ab>0⇒ab>0
Nhân vế với vế của (1) và (2): a.b.f(a).f(b)<0a.b.f(a).f(b)<0 ⇒f(a).f(b)<0⇒f(a).f(b)<0
⇒⇒ Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)(a;b)
- Nếu a,a, c trái dấu ⇒ac<0⇒ac<0 nhân vế với vế của (1) và (3):
ac.f
Đúng(0)
bên kia lm s rồi nhé pn
giống bài lm đầu tiên của Nguyễn Việt Lâm nhưng rất tiết là s rồi nha bn
Mysterious Person Ừm
gợi ý xíu đi bạn :)
Thu gọn phương trình trên ta đc
x2(a+b+c)−2x(ab+bc+ca)+3abc=0x2(a+b+c)−2x(ab+bc+ca)+3abc=0
Δ′=(ab+bc+ca)2−3abc(a+b+c)≥0Δ′=(ab+bc+ca)2−3abc(a+b+c)≥0
Nên phương trình luôn có nghiệm.
theo như yêu cầu của bạn vinh mình sẽ gợi ý nhé .
để chứng minh được bài toán mình chỉ cần chứng minh luôn tồn tại cặp hàm trái dấu là được .
câu này mk thấy trên mạng cũng có nhưng chưa thấy ai giải đúng cách cả .
giải :
ta có : \(f\left(a\right)=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\) ; \(f\left(b\right)=b\left(b-a\right)\left(b-c\right)\) ; \(f\left(c\right)=c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\) ; \(f\left(0\right)=3abc\)
ta gọi \(p=f\left(a\right).f\left(b\right)\) và \(q=f\left(c\right).f\left(0\right)\)
khi đó : \(pq=f\left(a\right).f\left(b\right).f\left(c\right).f\left(0\right)=-3a^2b^2c^2\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\) trong 2 số \(q\) và \(p\) phải có một số âm \(\Leftrightarrow\) tồn tại ít nhất một cặp hàm trái dấu
\(\Rightarrow\) phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi số a,b,c (đpcm)
ĐỐ VUI : bạn nào làm đúng mình xin tặng 1 GP để khuyến kích . tuy phần thưởng không lớn nhưng ý nghĩa nhất ở đây là bạn làm được bài toán . nếu khó quá thì cmt mình sẽ gợi ý nhá :)
chứng minh rằng phương trình a(x−b)(x−c)+b(x−a)(x−c)+c(x−a)(x−b)=0a(x−b)(x−c)+b(x−a)(x−c)+c(x−a)(x−b)=0luôn có nghiệm với mọi a,b,ca,b,c
(không tính đenta)