Lời giải:

Kẻ \(BE\perp AC(E\in AC)\)

Khi đó \(\sin A=\frac{BE}{c}\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{ac}{BE}\)

Mặt khác, \(S_{ABC}=\frac{BE.b}{2}\Rightarrow BE=\frac{2S_{ABC}}{b}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\). Hoàn toàn tương tự với \(\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}\) ta có:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\) (đpcm)

Gọi O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của BC, ta có:

\(OD\perp BC\)

\(OB=R;BD=\dfrac{1}{2}a\)

\(\widehat{BOD}=\widehat{A}\) (A là góc nội tiếp chắn cung BC, Ở là góc tâm chắn \(\dfrac{1}{2}\) cung BC)

Trong tam giác vuông DOB ta có:

\(sin\left(DOB\right)=\dfrac{BD}{OB}\)

\(\Rightarrow sinA=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{R}\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=2R\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)

A B C c H b a h

kẻ AH vuông góc với BC 

đặt AH = h . xét hai tam giác vuông AHB và AHC , ta có :

sin B = \(\frac{AH}{AB}\),   sin C = \(\frac{AH}{AC}\)

do đó \(\frac{sinB}{sinC}=\frac{AH}{AB}\cdot\frac{AC}{AH}=\frac{h}{c}\cdot\frac{b}{h}=\frac{b}{c}\)

suy ra \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

tương tự   \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)

vậy suy ra dpcm

cái đường thẳng cắt tam giác đó mk không bt nó thừ đâu tới, bạn bỏ cái đấy đi nhá

1)

Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD
sin A/2=sinBAD
xét tam giác AKB vuông tại K,có:
sinBAD=BK/AB (1)
xét tam giác BKD vuông tại K,có
BK<=BD thay vào (1):
sinBAD<=BD/AB(2)
lại có:BD/CD=AB/AC
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC)
=>BD/BC=AB/(AB+AC)
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2)
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB
= BC/(AB + AC)
=>ĐPCM

Hình tự vẽ nha

Kẻ phân giác \(AD,BK\perp AD\)
\(\sin\dfrac{A}{2}=\sin BAD\)
xét \(\Delta AKB\) vuông tại K,có: 
\(\sin BAD=\dfrac{BK}{AB}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) vuông tại K,có :
\(BK\le BD\) thay vào (1): 
\(\sin BAD\le\dfrac{BD}{AB}\left(2\right)\) 
lại có:\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\) thay vào (2) 
\(\sin BAD\le\dfrac{\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}}{AB}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\RightarrowĐPCM\)

Tick plz

Bài 1:

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

BC²=AC²+AB²

BC²=4²+3²

BC=\(\sqrt{25}\)=5(cm)

Ta có:

Sin B=\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}=0.8\)

Cos B=\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}=0.6\)

Tag B=\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{3}\)

Cotg B=\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}=0.75\)

bài 2:

\(\sin\alpha^2+\cos\alpha^2=1\)

=>0,6²+\(\cos\alpha^2=1\)

=>\(\cos\alpha=0,8\)

\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=>\tan\alpha=\dfrac{0,6}{0,8}=0,75\)

\(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{0,8}{0,6}\)\(\approx1,33\)

a, ( Định lý Sin)

b, Áp dụng T/C tỉ lệ thức

Xảy ra \(\Leftrightarrow a=b+c\)

A B C D H K a, Vẽ phân giác AD của góc BAC

Kẻ BH\(\perp\)AD tại H ; CK\(\perp AD\) tại K

Dễ thấy \(sin\widehat{A_1}=sin\widehat{A_2}=sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{BH+CK}{AB+AC}\le\)\(\le\dfrac{BD+CD}{b+c}=\dfrac{a}{b+c}\)

b, Tượng tự \(sin\dfrac{B}{2}\le\dfrac{b}{a+c};sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{c}{a+b}\)

Mặt khác \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)

\(\Rightarrow sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{AB}\)

Lời giải:

Kéo dài $OA$ cắt $(O)$ tại $D$

Do $AD$ là đường kính nên $ABD$ vuông tại $B$

\(\Rightarrow \sin \widehat{BDA}=\frac{BA}{AD}=\frac{c}{2R}\)

Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{C}\) (cùng chắn cung AB)

Do đó \(\sin C=\sin \widehat{BCA}=\frac{c}{2R}\Leftrightarrow \frac{c}{\sin C}=2R\)

Hoàn toàn tương tự, kẻ đường kính từ B,C ta thu được:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\) (đpcm)