A O C B
Gọi OA là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}.\)Ta có: \(\widehat{CAO}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}.\)
Xet tam giác CAO và tam giác CBA:
Có: \(\widehat{C}\)là góc chung.
\(\widehat{CAO}=\widehat{CBA}.\)
Vậy tam giác CAO đồng dạng với tam giác CBA.
Ta có: \(\frac{CA}{CB}=\frac{CO}{CA}\Rightarrow CA^2=CB.CO\Leftrightarrow CO=\frac{CA^2}{CB}=\frac{8^2}{12}=\frac{16}{3}.\)
Vậy \(BO=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}.\)
Mặt khác AO là tia phân giác của góc A nên:

\(\frac{OC}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{16}{3}:\frac{20}{3}=\frac{4}{5}.\)
Vậy: \(AB=AC:\frac{4}{5}=12:\frac{4}{5}=15.\)

AB= 15 

B A C H

Kẻ đường cao CH

   Vì A=2B (GT) 

mà :A=HCB( cùng phụ với góc ACH)

nên:HCB=2B

 Ta có: HCB + B = 90 độ ( phụ nhau)

 suy ra   2B +B  = 90 ĐỘ

             3B       = 90 độ

              B        = 90 độ : 3 = 30 độ

suy ra:HCB= 60 độ (vì HCB=2B)

 Mà: tam giác HCB vuông tại H nên tam giác HCB là một nửa tam giác đều .

suy ra : CH = \(\frac{CB}{2}=\frac{12}{2}=6\)

* Áp dụng định lý Py-ta-go vào từng tam giác vuông ACH và HCB để tính AH và HB (tự tính nhé)

 Ta có : AH + HB =AB

  hay  : \(3\sqrt{5}+6\sqrt{3}=AB\)

     Vậy AB = \(3\sqrt{5}+6\sqrt{3}\left(cm\right)\)

-- viết kí hiệu góc và số đo góc ha--

Trên tia đối của AC lấy lấy E sao cho AE = AB

  Ta có: AE = AB => tam giác ABC là tam giác cân=> góc AEB = góc ABE (1)

  Ta lại có: góc CAB là góc ngoài của tam giác AEB => góc CAB = góc AEB + góc ABE (2)

  Mà góc CAB = 2ABC (3) (gt)

  Từ (1), (2) và (3) => góc AEB = góc ABC

Xét tam giác ABC và tam giác BEC có:

   Góc C là góc chung

   BC là cạnh chung

   Góc AEB = góc ABC

=> Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BEC ( g-c-g)

Từ trên ta có: \(\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{EC}\)

 Hay EC = \(BC.\frac{BC}{AC}\)=> \(12.\frac{12}{9}\)= 16

Ta có: AE = AB = EC - AC = 16 - 9 = 7cm

 Vậy AB = 7cm

AB=15cm