Chào mọi người. Lâu rồi mình chưa làm tiếp về phần ôn thi vào 10 chuyên Toán, vậy nên hôm nay mình sẽ làm tiếp về 2 phần còn lại của số học là: Số nguyên tố, hợp số và phương trình nghiệm nguyên nhé!
Các bạn có thể xem những bài viết trước của mình:
https://hoc24.vn/cau-hoi/chao-moi-nguoi-minh-la-minh-day-minh-hom-nay-se-chia-se-tiep-cho-cac-ban-nhung-kien-thuc-lien-quan-den-ky-thi-chuyen-dayo-phan-truoc-minh-cung-da-noi-ve-phan-phuong-trinh-he-phuong-trinh-roi-ba.8374692898508
https://hoc24.vn/cau-hoi/hello-moi-nguoi-minh-la-binh-minh-moi-nguoi-tren-web-hay-goi-minh-la-san-sai-sun-rang-etc-noi-chung-la-moi-nguoi-co-the-goi-minh-la-gi-cung-d.8359703531873
I). Số nguyên tố/ hợp số.
Trước hết, số nguyên tố là số lớn hơn một, và chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. Ngược lại hợp số là số lớn hơn một, và có nhiều hơn 2 ước.
Một số tính chất cơ bản về số nguyên tố hay hợp số mà bạn nên biết.
1) Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, và là số chẵn duy nhất.
2) Mọi hợp số có thể phân tích ra thừa số nguyên tố.
3) Số nguyên tố lớn hơn 2 luôn có dạng `4k+-1` hay `6k+-1`.
4) `ab vdots p` thì `a vdots p` hoặc `b vdots p` với p nguyên tố.
5) Số ước số của `n=(n_1+1)(n_2+1)(n_3+1)...` với n là số mũ của thừa số nguyên tố khi phân tích.
VD: `12=2^2 xx 3 -> 12` có `(2+1)(1+1)=6` ước.
6) Hai số liên tiếp nhau luôn NTCN.
7) Hai số a,b gọi là NTCN khi `(a, b)=1`.
Vận dụng các tính chất sau, các bạn thử giải những bài toán sau nhé.
Bài 1: `a, n^2+n+2` là số nguyên tố hay hợp số?
`b, p^2+200` là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 2: Tìm `p` để `p+2, p+4, p+6, p+8` là số nguyên tố.
Bài 3: Cho p là số nguyên tố và một trong 2 số 8p + 1 và 8p - 1 là 2 số nguyên tố, hỏi số thứ 3 (ngoài 2 số nguyên tố, số còn lại) là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 4: Hai số `2^n-1` và `2^n+1` có thể đồng thời nguyên tố không? Vì sao.
Bài 5: a) Chứng minh rằng số dư trong phép chia của một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 30 thì kết quả ra sao?
b) Chứng minh rằng nếu tổng của n lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì (n,30) = 1.
II) Phương trình nghiệm nguyên.
Một số dạng phương trình nghiệm nguyên thường gặp:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Ví dụ: `3x+5y=17`.
`<=> x=(17-5y)/3`.
`=> 17 - 5y vdots 3.`
`<=> 5y equiv 2 (mod 3)`
`=> y=3k+1 <=> x=-5k+4.`
Vậy `...`
Phương pháp xét số dư từng vế
VD: Tìm x, y nguyên tố:
`y^2-2x^2=1`.
`<=> y^2=1+2x^2` nên `y` lẻ.
Đặt `y=2k+1 => y^2=(2k+1)^2 -> x=2k^2+2k,` mà `x` nguyên tố nên `x=2, y=3.`
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
VD: Tìm `x, y, z` tm: `1/x+1/y=z`
`<=> x+y=xyz`.
Không mất tổng quát, giả sử `x <=y`.
`=> xyz=x+y<=2y`
`<=> xz<=2`.
`@ x=1 => z=2 => y=1.`
`@ x=2 => z=1 => y=2`.
Vậy `...`
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
VD: Tìm `x,y in ZZ` `x^2+y^2-x-y=8`
`<=> 4x^2+4y^2-4x-4y=32`.
`<=> (2x-1)^2+(2y-1)^2=34`
Do `x, y in ZZ` nên `(2x-1)^2, (2y-1)^2 in ZZ`.
`=> (2x-1)^2= 3^2` hoặc `(2x-1)^2=5^2`.
Đến đây bạn đọc tự giải các TH sau nhé.
Okay, vậy là phần số học cũng đã hoàn thành. Nếu bạn có ý kiến hay đóng góp thì hãy liên hệ với mình qua Facebook https://www.facebook.com/stfu.calcius/ nhé.
(Bài viết mình sử dụng một số bài của web tailieumontoan.com, các bạn có thể lên trên web nếu muốn luyện nhiều bài tương tự hơn nhé!)
Cảm ơn Nguyễn Thành Trương đã hỗ trợ chấm bài của đề này!
Bài 4:
Gọi x là vận tốc xe máy. (Km/h) (x>0)
Vận tốc xe ô tô là y. (Km/h)
Thời gian xe máy đi: \(\frac{150}{x}\left(h\right)\)
Thời gian ô tô đi: \(\frac{150}{x+10}\left(h\right)\)
Cùng đi một đoạn AB, Ô tô đến trước xe máy 30p nên ta có phương trình:
\(\frac{150}{x}-\frac{1}{2}=\frac{150}{x+10}\) \(\Leftrightarrow300x+3000-x^2-10x-300x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+10x-3000=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-50\right)\left(x+60\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50\\x=-60\left(l\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow y=50+10=60\)
Vậy vận tốc xe máy là 50km/h và ô tô là 60km/h.
Bài 5:
Trong tgv ABC ta có: \(AH^2=BH.CH=4.9=36\) \(\Rightarrow AH=6\left(cm\right)\)
Trong tgv ABH ta có: \(tgABH=\frac{AH}{BH}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\widehat{ABH}=56^o\)
Bài 6:
O P C B A M D E
a. Ta có: \(OM\perp BP\) hay \(\widehat{OMP}=90^o\) (Đường kính và dây cung)
Và \(OC\perp CP\) hay \(\widehat{OCP}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{OMP}=\widehat{OCP}\)
\(\Rightarrow TgOMCP\) nội tiếp (2 góc cùng chắn một cung bằng nhau)
b. Ta có: \(\widehat{COP}=\widehat{CMP}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung CP)
Và \(\widehat{COP}=\widehat{DOE}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{CMA}=\widehat{DOE}\)
Mà \(\widehat{BDC}=\widehat{CAB}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\(\Rightarrow\Delta EOD\sim\Delta CMA\) \(\Rightarrow\frac{ED}{AC}=\frac{DO}{AM}\)
\(\Rightarrow AM.DE=AC.DO\) (Đfcm)
c. Ta có: \(\frac{ED}{AC}=\frac{DO}{AM}=\frac{2DO}{2AM}=\frac{DC}{AB}\)
Mà \(\widehat{BDC}=\widehat{CAB}\) (Góc nội tiếp cùng chắn của BC)
\(\Rightarrow\Delta CDE\sim\Delta BCA\) \(\Rightarrow\widehat{ECD}=\widehat{BAC}\)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACP}\) (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\(\Rightarrow\widehat{ECD}=\widehat{ACP}\). Mặc khác, \(\widehat{ACP}+\widehat{ACO}=90^o\)
Nên \(\widehat{ECD}+\widehat{ACO}=90^o\)
Hay \(EC\perp AC\) (Đfcm)
Bài 1:
a. \(A=\sqrt{25}+3\sqrt{8}-2\sqrt{18}\\ =5+6\sqrt{2}-6\sqrt{2}=5\)
b. \(B=\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)}-\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}+1\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}+1=1\)
Bài 2:
a. \(x^2+x-20=0\Leftrightarrow x^2-4x+5x-20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-5\end{matrix}\right.\) . Vậy...
b. \(\frac{x+2}{2}-1=0\Leftrightarrow x+2=2\Leftrightarrow x=0\)
c. \(\left(x-1\right)^4-8\left(x-1\right)^2-9=0\)
Đặt \(\left(x-1\right)^2=t\). Khi đó phương trình trở thành:
\(t^2-8t-9=0\Leftrightarrow\left(t^2+t\right)-\left(9t+9\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(t-9\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=-1\left(VN\right)\\\left(x-1\right)^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x-1=\pm3\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\). Vậy...
d. \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=-7\\3x+y=27\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=20\\y=2x+7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=2.4+7=15\end{matrix}\right.\). Vậy...
Bài 3:
a. Với x = 0, y = -1. Ta được điểm (0;1) thuộc Oy.
Với y = 0, x = 1/2. Ta được điểm \(\left(\frac{1}{2};0\right)\) thuộc Ox.
x y O y x 1 1/2 y=2x-1
Để tìm hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta giải phương trình sau:
\(x^2=2x-1\) \(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=1\)
Vậy tọa độ giao điểm là \(\left(1;1\right)\)
b. \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-6m+4=m^2-4m+5=\left(m-2\right)^2+1>0\)
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Theo Vi-et:
\(x_1+x_2=2m+2\)
\(x_1x_2=6m-4\)
Ta có: \(\left(2m-2\right)x_1+x_2^2-4x_2=4\)
\(\Leftrightarrow2mx_1-2x_1+x_2^2-4x_2-4=0\) \(\Leftrightarrow2mx_1-2x_1-4+x_2\left(x_2-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(2mx_1-2x_1-4+2mx_2-x_1x_2-2x_2=0\)
\(\Leftrightarrow2m\left(x_1+x_2\right)-2x_1-4-x_1x_2-2x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(4m^2+4m-2x_1-4-6m+4-2x_2=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-2m-2\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-2m-4m-4=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-3m-2=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\). Vậy...
\(pt:x^2-2\left(m+1\right)x+6m-4=0\left(1\right)\)
\(\Delta=\left(-2m-2\right)^2-4.\left(6m-4\right)\Rightarrow\Delta=\left(2m-4\right)^2+4>0\forall m\)
Theo hệ thức Vi-et:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=6m-4\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(2m-2\right)x_1+x_2^2-4x_2=4\Leftrightarrow2mx_1-2x_1+x_2^2-4x_2-4=0\left(2\right)\)
Do \(x_2\) là nghiệm của pt(1) nên:
\(\Rightarrow x_2^2-2\left(m+1\right)x_2+6m-4=0\Leftrightarrow x^2_2=2\left(m+1\right)x_2-6m+4\)
Thay \(x^2_2\) vào pt(2)
\(\Rightarrow2mx_1-2x_1+2mx_2+2x_2-6m+4-4x_2-4=0\)
\(\Leftrightarrow2m\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1+x_2\right)-6m=0\Leftrightarrow2m\left(2m+2\right)-2\left(2m+2\right)-6m=0\Rightarrow4m^2-6m-4=0\)
\(\Delta=\left(-6\right)^2-4.\left(-4\right).4=100\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_1=\frac{6+\sqrt{100}}{2.4}=2\\m_2=\frac{6-\sqrt{100}}{2.4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Ừm, sau này cứ gọi anh là Kẹo nhé!
Nguyễn Trần Thành Đạt Okerrr anh Kẹo :>>>>
White Hold Em làm bài trực tiếp ở đây nha!
Em có thể tự gõ máy hoặc em làm ra vở, nháp rồi chụp đăng lên tại câu hỏi này nhé!
làm dưới này luôn phải không
Hồng Phúc Đúng rồi, có thể chụp ảnh hoặc gõ máy đều được nha!
làm thành nhiều phần nha, với a ơi, cái gp để tuần sau rồi tick đc ko
Thì ít nhất 3,4 ngày nữa mới tick mà .
Còn làm nhiều phần nhé! Làm được cái gì làm cái đó nha!
cần kết luận rõ ràng ko anh hay .... là đc r??
định làm nhưng thấy thánh làm rồi:(( nhanh thật
White Hold Đây là 1 số CTV toán chấm anh không rõ nữa
trưa hoặc chiều em làm tiếp nha, giờ đang bận
CTV box Anh soi ra được ''coment'' => ''comment ''anh ơi :))
Chỉ chấm bài nào dài, gần full hoặc bài ngắn mà khó chứ mấy bài dễ mà làm cắt ra để kiếm GP thì thôi.
Đoạn cuối câu b bài 2 dùng dấu <=> nhé. Người nào khó tính có thể trừ điểm đó, nên đừng để mất 0,25 hay bao nhiêu đó lãng xẹt như vậy
Tự đối chiếu với các bài khác thì chắc bạn cũng nhận ra câu c bài 2 của mình bị nhầm rồi nhỉ ?
Sau dấu = thứ 2 kể từ khi bắt đầu bài làm, trong ngoặc thứ 2 sửa \(4\sqrt{5}\rightarrow\left(4\sqrt{5}\right)^2\) nhé. Cơ mà chắc chỉ là lỗi nhỏ, làm lại thì bạn sẽ không sai. Còn nữa, người ta đã đặt \(x_0=\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}\)rồi thì nên bám sát đề, ko nên đặt a thêm nữa
Nguyễn Thị Ngọc Thơ ừ có gì Thơ hỗ trợ chấm và giải thích cho mấy bạn hộ anh nha!
Với lại bài nào có cách giải hay và mới nữa :3 Cảm ơn em
Đề trắc nghiệm 100% anh đang kiếm , có anh sẽ đăng nha!
Nguyễn Ngọc Lộc Anh mới đăng nha Lộc
phần cuối này chuyển vế đổi dâu đc sd dấu => nha ko vấn đề
cái mk đặt để khác người cm ko chép bài!
mà cái đó thì quên thật
Nguyễn Trần Thành Đạt
Nguyễn Trần Thành Đạt