Đặt f(n)= ${\left(n^2+n+1\right)}^2+1$

Xét dãy số ( $u_n$)sao cho

$u_n=\frac{f\left(1\right).f\left(3\right).f\left(5\right)...f(2n-1)}{f\left(2\right).f\left(4\right).f\left(6\right)...f\left(2n\right)}$. 

Tính lim $n\sqrt{u_n}$. 

Cho hàm số f: \(Z^+\rightarrow Z^+\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

1) \(f\left(n+1\right)>f\left(n\right)\) với \(\forall n\in Z^+\)

2) \(f\left(f\left(n\right)\right)=n+2000\) với \(\forall n\in Z^+\)

a) Chứng minh: \(f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+1\)

b) Tính \(f\left(n\right)\)

Cho hàm số f: \(Z^+\rightarrow Z^+\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

1) \(f\left(n+1\right)>f\left(n\right)\) với \(\forall n\in Z\)

2) \(f\left(f\left(n\right)\right)=n+2000\) với \(\forall n\in Z\)

a) Chứng minh: \(f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+1\)

b) Tính \(f\left(n\right)\)

Xét hàm số  $f\left(x\right) = \frac{2x^2-2x}{x - 1}$

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số $x_n, x_n \to 1$ như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

$f\left(x_1\right), f\left(x_2\right),\dots , f\left(x_n\right), \dots$

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là $f\left(x_n\right)$.

a) Chứng minh rằng $f\left(x_n\right) = 2xn = (2n + 2)/n$.

b) Tìm giới hạn của dãy số  $f\left(x_n\right)$.

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì $x_n, x_n \ne 1$ và $x_n \to 1$, ta luôn có $f\left(x_n\right) \to 2$.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số  $f\left(x\right) = \frac{2x^2-2x}{x - 1}$ có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Cho hàm số f(n)=cos $\frac{a}{2^n}, (a\ne 0, n\in N)$. Tính giới hạn  $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1\right).f\left(2\right)...f\left(n\right).$

Cho hàm số f(n)= 1+3+6+10+...+ $\frac{n(n+1)}{2}(n\in N^{*})$.

Biết lim  $\frac{f\left(n\right)}{(3n+1)(5n^2+2)}=\frac{a}{b}(a,b\in Z)$phân số này tối giản. Giá trị b - 5a là

Cho hàm số f(n)= $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{n.(n+1).(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}, n\in N^{*}$. Kết quả giới hạn lim  $\frac{(\sqrt{2n^2+1}-1)f\left(n\right)}{5n+1}=\frac{a}{b}(b\in Z).$ Giá trị của  $a^2+b^2$ là