Chọn A

Đặt hệ trục: $B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$

$\Rightarrow S(a,0,a)$

$E\left(\dfrac a2,0,0\right),\ F\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$

Vectơ pháp tuyến: Mặt $(SEF)$:

$\vec{SE}=\left(-\dfrac a2,0,-a\right),\ \vec{SF}=\left(-\dfrac a2,\dfrac a2,-a\right)$

$\Rightarrow \vec n_1=\vec{SE}\times\vec{SF}=(2,0,-1)$

Mặt $(SBC)$: $\vec{SB}=(-a,0,-a),\ \vec{SC}=(-a,a,-a)$

$\Rightarrow \vec n_2=\vec{SB}\times\vec{SC}=(1,0,-1)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{|2\cdot1+0+(-1)(-1)|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}}$

$=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Đáp án C.

Vì $AB=BC=a$ và tam giác vuông tại $B$ nên: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt2$

Do $SA\perp(ABC)$ nên: $SA\perp AB,\ SA\perp BC$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến $SC$ trong hai mặt phẳng đó.

Gọi $H$ là trung điểm $SC$.

Ta có: $AC= a\sqrt2$

Trong tam giác vuông $SAC$: $SA=a,\ AC=a\sqrt2$

⇒ $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =\sqrt{a^2+2a^2} =a\sqrt3$

Xét tam giác $SBC$: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{a^2+a^2} =a\sqrt2$

Ta có tam giác $SBC$ với:

$SB=a\sqrt2,\ BC=a,\ SC=a\sqrt3$

Dùng định lý cosin tính góc tại $C$:

$\cos\widehat{SCB} =\dfrac{SC^2+BC^2-SB^2}{2\cdot SC\cdot BC}$

$=\dfrac{3a^2+a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt3\cdot a}$

$=\dfrac{2a^2}{2a^2\sqrt3} =\dfrac1{\sqrt3}$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng là: $\boxed{30^\circ}$

S A B C M

Ta có : \(SA\perp BC\), \(AB\perp BC\) \(\Rightarrow SB\perp BC\)

Do đó : góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(\widehat{SBA}=30^0\)

\(V_{S.ABM}=\frac{1}{2}V_{S.ABC}=\frac{1}{2}SA.AB.BC\)

\(BC=AB=a;SA=AB.\tan30^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(V_{s.ABM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{36}\)

Đáp án A

Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên

$SB = SC = BC = a$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó trong tam giác đều: $SH \perp BC$ và $SH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$ nên $SH \perp (ABC)$

Suy ra $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$

Mà $BC = a$

Trong tam giác vuông cân:

$AB = AC = \dfrac{a}{\sqrt2}$

Ta có:

$AH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác vuông $SAH$ (vì $SH \perp (ABC)$ nên $SH \perp AH$):

$SA^2 = SH^2 + AH^2$

$= \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

$= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}$

$= a^2$

$\Rightarrow SA = a$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau bằng:

$d = \dfrac{2V_{SABC}}{SA \cdot BC}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC = \dfrac12 \cdot \dfrac{a}{\sqrt2} \cdot \dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{a^2}{4}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

=> $d = \dfrac{2V}{SA \cdot BC} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a \cdot a} = \dfrac{a\sqrt3}{12} \cdot 2 = \dfrac{a\sqrt6}{6}$

Vì $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Gọi $H$ là trung điểm $BC$.

Đường cao tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

⇒ $SH$ là chiều cao hình chóp.

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Diện tích đáy: $S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^2}{4}$

Thể tích: $V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{SA\cdot BC}$

Mà $SA=a,\ BC=a$

⇒ $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{24}}{a^2} =\dfrac{a\sqrt6}{6}$

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABC\right)\)

\(AB\perp BC\Rightarrow SB\perp BC\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^o\)

\(\Rightarrow SA=AB.\tan\widehat{SBA}=2a\sqrt{3}\)

Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N

\(\Rightarrow MN||BC\) và N là trung điểm của \(AC\\ \)

\(MN=\frac{BC}{2}=a;BM=\frac{AB}{2}=a\)

Diện tích \(S_{BCNM}=\frac{\left(BC+MN\right).BM}{2}=\frac{3a^2}{2}\)

Thể tích \(V_{S.BCNM}=\frac{1}{3}S_{BCNM}.SA=a^3\sqrt{3}\)

Kẻ đường thẳng \(\Delta\) đi qua N, song song với AB

Hạ \(AD\perp\Delta\left(D\in\Delta\right)\Rightarrow AB||\left(SND\right)\)

                                 \(\Rightarrow d\left(AB;SN\right)=d\left(AB,\left(SND\right)\right)=d\left(A,\left(SND\right)\right)\)

Hạ \(AH\perp SD\left(H\in SD\right)\Rightarrow AH\perp\left(SND\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SND\right)\right)=AH\)

Tam giác SAD vuông tại A : \(\begin{cases}AH\perp SD\\AD=MN=a\end{cases}\)

                                            \(\Rightarrow d\left(AB,SN\right)=AH=\frac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}\)

1242

S A B C H K

Do \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân và \(BA=BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \) và \(AC=a\sqrt{2}\).

Trong mp (\(SAB \)) dựng \(AK\perp SB\) với \(K\in SB\)

Trong mp \((SAC)\) dựng \(AH\perp SC\) với \(H\in SC\)

Do \(SA\perp BC\) và \(AB\perp BC\) nên \(BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\left(SAB\right)\perp\left(SBC\right)\) \(\Rightarrow AK\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow AK\perp SC\) mà \(AH\perp SC\) nên \(SC\perp\left(AHK\right)\)

\(\Rightarrow HK\perp SC\) mà \(\Delta AHK\) vuông tại \(K\) nên góc giữa 2 mp cần tính là \(\widehat{AHK}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được \(AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) và \(AK=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{AHK}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow\cos\widehat{AHK}=\dfrac{1}{2}\)