Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(I=\int\dfrac{lnx}{x\sqrt{1+lnx}}dx\)
Đặt \(\sqrt{1+lnx}=t\Rightarrow lnx=t^2-1\Rightarrow\dfrac{dx}{x}=2t.dt\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{\left(t^2-1\right)}{t}.2tdt=\int\left(2t^2-2\right)dt=\dfrac{2t^3}{3}-2t+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2\left(1+lnx\right)\sqrt{1+lnx}}{3}-2\sqrt{1+lnx}+C\)
Bước 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của \(C\) tại điểm \(M \left(\right. x_{0} ; ln x_{0} \left.\right)\)
Hàm số: \(y = ln x\)
Ta có:
\(y^{'} = \frac{1}{x}\)
Tại \(x = x_{0} > 0\), hệ số góc tiếp tuyến là:
\(k = y^{'} \left(\right. x_{0} \left.\right) = \frac{1}{x_{0}}\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M \left(\right. x_{0} ; ln x_{0} \left.\right)\) là:
\(D : y = ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)
Bước 2. So sánh \(ln x\) và giá trị trên tiếp tuyến \(D\)
Xét hàm:
\(f \left(\right. x \left.\right) = ln x - \left[\right. ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x - x_{0} \left.\right) \left]\right.\)
Ta cần chứng minh:
\(f \left(\right. x \left.\right) \leq 0 \forall x > 0\)
và \(f \left(\right. x \left.\right) = 0\) chỉ khi \(x = x_{0}\).
Bước 3. Xét dấu của \(f^{'} \left(\right. x \left.\right)\)
Tính đạo hàm:
\(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}}\)
- Khi \(x < x_{0} \Rightarrow \frac{1}{x} > \frac{1}{x_{0}} \Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) > 0\)
- Khi \(x > x_{0} \Rightarrow \frac{1}{x} < \frac{1}{x_{0}} \Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) < 0\)
→ \(f \left(\right. x \left.\right)\) tăng trên \(\left(\right. 0 , x_{0} \left.\right)\) và giảm trên \(\left(\right. x_{0} , + \infty \left.\right)\)
Vì \(f^{'} \left(\right. x \left.\right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x_{0}\), nên \(x_{0}\) là điểm cực đại của \(f \left(\right. x \left.\right)\).
Bước 4. Tính giá trị tại cực đại
\(f \left(\right. x_{0} \left.\right) = ln x_{0} - \left[\right. ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x_{0} - x_{0} \left.\right) \left]\right. = 0\)
Vì \(f \left(\right. x \left.\right)\) đạt cực đại bằng 0 tại \(x_{0}\), nên:
\(f \left(\right. x \left.\right) \leq 0 \forall x > 0\)
✅ Kết luận:
\(ln x \leq ln x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)
với dấu “=” chỉ xảy ra khi \(x = x_{0}\).
Điều đó có nghĩa là:
Đồ thị \(C : y = ln x\) luôn nằm dưới mọi tiếp tuyến \(D\) của nó trên khoảng \(\left(\right. 0 ; + \infty \left.\right)\).
Đáp án B