a) Xét tam giác ABC và tam giác MDC có

                ^C chung

                 ^BAC=^DMC=90

=> tam giác ABC đông dạng vs tam giác MDC ( g-g)

b)Xét tam giác BIM bà tam giác BCA có

                IMB = ^BAC=90

               ^B chung

=> tam giác BIM ~BCA

=> BI/BM=BC/BA=>BI.BA=BM.BC

c)

a: Xét tứ giác ADEF có \(\hat{ADE}=\hat{AFE}=\hat{DAF}=90^0\)

nên ADEF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

EF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

ED//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

ADEF là hình bình hành

=>AD//FE và AD=FE

AD//FE

=>BD//FE

AD=FE

AD=DB

Do đó: FE=BD

Xét tứ giác BDFE có

BD//FE

BD=FE

Do đó: BDFE là hình bình hành

c: BDFE là hình bình hành

=>FD//BE

=>FD//EH

ΔAHC vuông tại H

mà HF là đường trung tuyến

nên \(HF=\frac{AC}{2}=AF=FC\)

mà AF=ED(Vì ADEF là hình chữ nhật)

nên FH=ED

Xét tứ giác EHDF có

EH//DF

ED=HF

Do đó: EHDF là hình thang cân

d: Xét tứ giác ABCN có

F là trung điểm chung của AC và BN

=>ABCN là hình bình hành

=>AN//CB

Xét tứ giác AECM có

F là trung điểm chung của AC và EM

=>AECM là hình bình hành

=>AM//CE

=>AM//BC

Ta có: AM//BC

AN//BC

mà AM,AN có điểm chung là A

nên A,M,N thẳng hàng

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>\(AC=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)

=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)

mà AD+CD=AC=4

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(AD=\dfrac{3}{2}=1,5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔCHD vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{HCD}\) chung

Do đó: ΔCHD đồng dạng với ΔCAB

=>\(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(CH\cdot CB=CA\cdot CD\)

c: Ta có: AE\(\perp\)BC

DH\(\perp\)BC

Do đó: HD//AE

Xét ΔAEC có HD//AE

nên \(\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{CD}{DA}\)

mà \(\dfrac{CD}{DA}=\dfrac{BC}{BA}\)

nên \(\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{BC}{BA}\)

d: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBHD

=>BA=BH và DA=DH

Ta có: BA=BH

=>B nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: DA=DH

=>D nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AH

=>BD\(\perp\)AH tại O và O là trung điểm của AH

=>OA=OH(3)

Xét ΔCMN có AO//MN

nên \(\dfrac{AO}{MN}=\dfrac{CO}{CM}\left(4\right)\)

Xét ΔCBM có OH//BM

nên \(\dfrac{OH}{BM}=\dfrac{CO}{CM}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra MN=BM

=>M là trung điểm của BN

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=25+49=74\)

=>\(BC=\sqrt{74}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{5}=\dfrac{DC}{7}\)

mà \(DB+DC=BC=\sqrt{74}\)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{5}=\dfrac{DC}{7}=\dfrac{DB+DC}{5+7}=\dfrac{\sqrt{74}}{12}\)

=>\(DB=\dfrac{\sqrt{74}}{12}\cdot5=\dfrac{5\sqrt{74}}{12}\left(cm\right);DC=\dfrac{7\sqrt{74}}{12}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔCAB có ED//AB

nên \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{ED}{AB}\)

=>\(\dfrac{CE}{7}=\dfrac{ED}{5}=\dfrac{7\sqrt{74}}{12}:\sqrt{74}=\dfrac{7}{12}\)

=>\(CE=\dfrac{7}{12}\cdot7=\dfrac{49}{12}\left(cm\right);ED=7\cdot\dfrac{5}{12}=\dfrac{35}{12}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔABC vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có

\(\widehat{ACB}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔEDC

=>\(k=\dfrac{BC}{DC}=\sqrt{74}:\dfrac{7\sqrt{74}}{12}=\dfrac{12}{7}\)