Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tiếng Anh: ( 15sp cho 1 người )
Fill in each blank with the appropriate forms of the word in bracket.
1. There is a collection of books on the shelf. (collect)
2. It is very inconvinient for people in remote areas to get to hospitals. (convenience)
3. He is very skillful with his hands. (skill)
4. It is said that water collected from the local streams is safe to drink. (safe)
5. I to eat healthy, so I eat a lot of fruits and vegetables every day. (health)
Theo AM - GM cho 3 số dương: \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)(*)
Tiếp tục sử dụng AM - GM, ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{27}\le\frac{8}{27}\)(do \(a+b+c\le1\))
và \(a^2b^2c^2\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^3}{27}\)
Từ đó suy ra \(a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(ab+bc+ca\right)^3}{27^2}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{87}{2}\)(***)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{23}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{23}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\ge\frac{87}{2}\)*đúng theo (***)*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Tui đăng kí thi anh :
Phan Tiến Nghĩa
Lớp 7 :>
Bài làm :
1. We have two postal deliveries a day.
2. He left the room without explaining
3. Playing tennis is one of his favorite activities
4. We started our trip on a beautiful sunning morning.
5. They left the house in a frightening mess.
6. He said “ Good morning” in a most friendly way.
7. There is no easy solution to this problem.
8. He always drives more carefully at night.
9. Does this arrangement suit you?
10. He is a very skillful carpenter.
Sports and games play an (1) important part in our lives. Everyone of us can (2) play a sport, or a game, or watch sports (3) events on TV or at the stadium. When you listen to the (4) radio early in the morning, you can always hear sports (5)new. When you open a newspaper, you will always find information about some (6) game, or an arle about your favorite kind of sport. Television (7) programmes about sport are also very (8) popular , and you can watch something interesting nearly every day. Stories about (9) famous men and women in the world of (10) sport are often very interesting.
Đây tài trên 2k5 SP , vậy thì tài trợ khoảng 50 => 70 SP nhé
_ [ Với quy định nhiều người tham gia nhea -v- ]
#Anh :33
Bài 1:
a) Đặt \(6x+7=y\)
\(PT\Leftrightarrow y^2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=72\)
\(\Leftrightarrow y^4-y^2-72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0\)
Mà \(y^2+8>0\left(\forall y\right)\)
\(\Rightarrow y^2-9=0\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow\left(6x+4\right)\left(6x+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+4=0\\6x+10=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)
b) đk: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)
\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)
Bài 2 không tiện vẽ hình nên thôi nhờ godd khác:)
Bài 3:
Ta có:
\(a_n=1+2+3+...+n\)
\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=2\cdot\left(1+2+3+...+n\right)+\left(n+1\right)\)
\(=2\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\)
\(=n^2+n+n+1=\left(n+1\right)^2\)
Là SCP => đpcm
BĐT
<=> \(\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{3\left(ac+bc+ac\right)}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
<=>\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{a\left(a\left(b+c\right)+bc\right)}{b+c}+...\right)\)
<=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
Mà \(\frac{abc}{b+c}\le abc.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc\right)\)
Khi đó BĐT
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\right)\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Cách này chủ yếu biến đổi tương đương nên chắc phù hợp với lớp 8
Nếu sử dụng SOS nhìn vào sẽ làm đc liền vì có Nesbitt lẫn \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\)
A B C E D M N I K
Trong tam giác ABC ta có:
E là trung điểm của cạnh AB
D là trung điểm của cạnh AC
Nên ED là đường trung bình của ∆ ABC
⇒ED//BC⇒ED//BC và ED=\(\frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
M là trung điểm cạnh bên BE
N là trung điểm cạnh bên CD
Nên MN là đường trung bình hình thang BCDE ⇒ MN // DE
\(MN=\frac{DE+BC}{2}=\frac{\frac{BC}{2}+BC}{2}=\frac{3BC}{4}\)(tính chất đường trung bình hình thang)
Trong tam giác BED ta có:
M là trung điểm của BE
MI // DE
Suy ra: MI là đường trung bình của ∆ BED
\(\Rightarrow MI=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{4}BC\)(tính chất đường trung bình tam giác)
Trong tam giác CED ta có:
N là trung điểm của CD
NK // DE
Suy ra: NK là đường trung bình của ∆ BED
\(\Rightarrow NK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{4}BC\)(tính chất đường trung bình tam giác)
\(IK=MN-\left(MI+NK\right)\)
\(=\frac{3}{4}BC-\left(\frac{1}{4}BC+\frac{1}{4}BC\right)=\frac{1}{4}BC\)
\(\Rightarrow MI=IK=KN=\frac{1}{4}BC\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cảm ơn hoang viet nhat nhé, nhưng lời giải này không được cô giáo mình chấp nhận vì cô bảo chưa học đến đường trung bình của hình thang nên nếu mình làm thế trên bảng thì các bạn sẽ không hiểu.
Câu đặc biệt :
\(\left(3x-2\right)\left(x+1\right)^2\left(3x+8\right)=-16\)
\(\Leftrightarrow9x^4+36x^3+29x^2-14x-16=-16\)
\(\Leftrightarrow9x^4+36x^3+29x^2-14x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(9x^3+36x^2+29x-14\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[\left(9x^3+18x^2-7x\right)+\left(18x^2+36x-14\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[x\left(9x^2+18x-7\right)+2\left(9x^2+18x-7\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left(9x^2+18x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left[\left(9x^2+21x\right)-\left(3x+7\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left[3x\left(3x+7\right)-\left(3x+7\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left(3x-1\right)\left(3x+7\right)=0\)
<=> x = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc 3x - 1 = 0 hoặc 3x + 7 = 0
<=> x = 0 hoặc x = - 2 hoặc x = 1/3 hoặc x = 7/3
Vậy phương trình có tập nghiệm là : \(S=\left\{0;\frac{1}{3};\frac{7}{3};-2\right\}\)
Câu 2:
a) Ta có: \(2x^2+3x+1>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2+3x+1}{3}>\frac{0}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}x^2+x+\frac{1}{3}>0\)
=> đpcm
b) Ta có: \(4x-1< 0\)
\(\Leftrightarrow0-\left(4x-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1-4x>0\)
=> đpcm
c) Ta có: \(\frac{3x-2}{4}+2\frac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x-2}{4}+\frac{10}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x+8}{4}>0\)
\(\Rightarrow3x+8>0\)
=> đpcm
Nhầm ở đoạn cuối :
<=> x = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc 3x - 1 = 0 hoặc 3x + 7 = 0
<=> x = 0 hoặc x = - 2 hoặc x = 1/3 hoặc x = - 7/3
Vậy pt có tập nghiệm là : \(S=\left\{\frac{1}{3};0;-2;-\frac{7}{3}\right\}\)
Làm cho zui ! Đang rảnh
Toán 7 ( hình học )
A B M C D F E
Xét \(\Delta CMD\)có :
E là trung điểm của đoạn thẳng CM
F là trung điểm của đoạn thẳng DM
=> EF là đường trung bình của \(\Delta CMD\)
\(\Rightarrow EF=\frac{1}{2}CD\)
Lớp 8 câu 2
a) 2x2 + 3x + 1 > 0
<=> 2x2 + 2x + x + 1 > 0
<=> 2x( x + 1 ) + 1( x + 1 ) > 0
<=> ( x + 1 )( 2x + 1 ) > 0
Xét 2 trường hợp :
1\(\hept{\begin{cases}x+1< 0\\2x+1< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -1\\x< -\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}x< -1\)
2\(\hept{\begin{cases}x+1>0\\2x+1>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-1\\x>-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}x>-\frac{1}{2}\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -1 hoặc x > -1/2 (1)
2/3x2 + x + 1/3 > 0
<=> 2/3x2 + 2/3x + 1/3x + 1/3 > 0
<=> 2/3x( x + 1 ) + 1/3( x + 1 ) > 0
<=> ( x + 1 )( 2/3x + 1/3 ) > 0
Xét hai trường hợp :
1\(\hept{\begin{cases}x+1< 0\\\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -1\\x< -\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}x< -1\)
2\(\hept{\begin{cases}x+1>0\\\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-1\\x>-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}x>-\frac{1}{2}\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -1 hoặc x > -1/2 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
b) 4x - 1 < 0
<=> 4x < 1
<=> x < 1/4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 1/4 (1)
1 - 4x > 0
<=> -4x > -1
<=> x < 1/4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 1/4 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
c) \(\frac{3x-2}{4}+2\frac{1}{2}>0\)
<=> \(\frac{3x-2}{4}+\frac{5}{2}>0\)
<=> \(\frac{3x-2}{4}+\frac{10}{4}>0\)
<=> \(\frac{3x-2+10}{4}>0\)
<=> \(\frac{3x+8}{4}>0\)
<=> 3x + 8 > 0
<=> 3x > -8
<=> x > -8/3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -8/3 (1)
3x + 8 > 0
<=> 3x > -8
<=> x > -8/3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -8/3 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Câu đặc biệt
( 3x - 2 )( x + 1 )2( 3x + 8 ) = -16
<=> ( 3x - 2 )( x2 + 2x + 1 )( 3x + 8 ) + 16 = 0
<=> 9x4 + 36x3 + 29x2 - 14x - 16 + 16 = 0 ( chỗ này mình khai triển luôn cho đỡ dài dòng )
<=> 9x4 + 36x3 + 29x2 - 14x = 0
<=> x( 9x3 + 36x2 + 29x - 14 ) = 0
<=> x( 9x3 + 21x2 + 15x2 + 35x - 6x - 14 ) = 0
<=> x[ ( 9x3 + 21x2 ) + ( 15x2 + 35x ) - ( 6x + 14 ) ] = 0
<=> x[ 3x2( 3x + 7 ) + 5x( 3x + 7 ) - 2( 3x + 7 ) ] = 0
<=> x( 3x + 7 )( 3x2 + 5x - 2 ) = 0
<=> x( 3x + 7 )( 3x2 - x + 6x - 2 ) = 0
<=> x( 3x + 7 )[ x( 3x - 1 ) + 2( 3x - 1 ) ] = 0
<=> x( 3x + 7 )( 3x - 1 )( x + 2 ) = 0
<=> x = 0 hoặc x = -7/3 hoặc x = 1/3 hoặc x = -2
Vậy S = { 0 ; -7/3 ; 1/3 ; -2 }
Toán 7 ( Số học )
+) Cho k lần lượt lấy 105 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi ta se được 105 + 1 giá trị khác nhau của 1983k - 1
+) 105 + 1 chia cho 105 ta sẽ có nhiều nhất là 105 số dư
+) Theo nguyên tắc Dirichlet , ta có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia hết cho 105 . Giả sử 2 số đó là 1983a -1 và 1983b -1 ( a > b )
\(\Rightarrow\left(1983^a-1\right)-\left(1983^b-1\right)⋮10^5\)
Ta có :
\(\left(1983^a-1\right)-\left(1983^b-1\right)=1983^a-1983^b=1983^b\left(1983^{a-b}-1\right)\)
Mà 105 và 1983b là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> ĐPCM
Câu đặc biệt:
Ta có: \(\left(3x-2\right)\left(x+1\right)^2\left(3x+8\right)=-16\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(3x+3\right)^2\left(3x+8\right)=-144\)
Đặt \(3x+3=d\)
PT <=> \(\left(d-5\right)\cdot d^2.\left(d+5\right)=-144\)
\(\Leftrightarrow\left(d^2-25\right)\cdot d^2+144=0\)
\(\Leftrightarrow d^4-25d^2+144=0\)
\(\Leftrightarrow\left(d^2-9\right)\left(d^2-16\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}d^2=9\\d^2=16\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}d=\pm3\\d=\pm4\end{cases}}\)
+ Nếu: \(d=\pm3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+3=3\\3x+3=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}\)
+ Nếu: \(d=\pm4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+3=4\\3x+3=-4\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\x=-\frac{7}{3}\end{cases}}\)
Vậy \(S=\left\{-\frac{7}{3};0;\frac{1}{3};2\right\}\) , bớt căng não hơn đấy:))
Câu đặc biệt :
\(\left(3x-2\right)\left(x+1\right)^2\left(3x+8\right)=-16\)
\(\Leftrightarrow9x^4+36x^3+29x^2-14x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(9x^3+36x^2+29x-14\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(3x+7\right)\left(3x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
TH1 : x = 0
TH2 : x = -7/3
TH3 : x = 1/3
TH4 : x = -2
Câu đặc biệt này chưa ai làm \(\frac{a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2+a^2}+\frac{b\left(a+c\right)}{\left(c+a\right)^2+b^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2+c^2}\le\frac{6}{5}\) . Bài này khá đơn giản và có nhiều cách làm, Shi làm cách đơn giản nhất
Áp dụng BĐT AM-GM ta có \(a^2+\left(b+c\right)^2=\left[a^2+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}\right]+\frac{3}{4}\left(b+c\right)^2\ge a\left(b+c\right)+\frac{3}{4}\left(b+c\right)^2\)\(=\frac{\left(b+c\right)\left(4a+3b+3c\right)}{4}\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta được \(\frac{1}{25}\left(\frac{9^2a}{3\left(a+b+c\right)}+\frac{a}{a}\right)\ge\frac{4a}{4a+3b+3c}\Rightarrow\frac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}\le\frac{27a}{25\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{25}\)
Tương tự ta được \(\hept{\begin{cases}\frac{b\left(a+c\right)}{b^2+\left(a+c\right)^2}\le\frac{27b}{25\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{25}\\\frac{c\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2+c^2}\le\frac{27c}{25\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{25}\end{cases}}\)
Cộng các BĐT trên theo vế ta được
\(\frac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b\left(a+c\right)}{b^2+\left(a+c\right)^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{c^2+\left(a+b\right)^2}\le\frac{27\left(a+b+c\right)}{25\left(a+b+c\right)}+\frac{3}{25}=\frac{6}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Done!
Kid đợi các bạn 2k7 sol nãy giờ chả thấy ai T.T Kid xin phép trình bày ý tưởng bài này
Chuẩn hóa \(a+b+c=1\) Khi đó:\(\frac{a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2+a^2}=\frac{a\left(1-a\right)}{\left(1-a\right)^2+a^2}\)
Đến đây ta có thể dùng UCT hoặc sử dụng phương pháp tiếp tuyến, UCT khá dài nên Kid dùng tiếp tuyến tại a=b=c=1/3 nha
\(f\left(x\right)=\frac{x\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)^2+x^2};f'\left(x\right)=\frac{1-2x}{\left(2x^2-2x+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{27}{25}\Rightarrow f'\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)+\)
Khi đó ta xét: \(\frac{a\left(1-a\right)}{\left(1-a\right)^2+a^2}\le\frac{27a}{25}+\frac{1}{25}\) ( bạn tự làm nha )
Như vậy: \(LHS\le\frac{27\left(a+b+c\right)}{25}+\frac{1}{25}=\) ý tưởng là như vậy nhưng tính toán có gì đó sai sai bạn check hộ mình T.T
Bài hình học lớp 7
A M C B D E F J K P T
Gọi J,K lần lượt là trung điểm DM và CM
Dễ thấy EJ // KF nên EJFK là hình thang (1)
Gọi P là giao điểm của FK và AC, T là giao điểm CM và AD
Ta có AC//MD( hai góc đồng vị là CAM = DMB)
Theo Ta-let ta có \(\frac{CT}{TA}=\frac{TM}{TD}\Rightarrow\frac{CT}{TA}=\frac{TM}{TD}=\frac{CM}{AD}=\frac{2CK}{2AE}=\frac{CK}{AE}\)Suy ra EK//CA do đó góc EKF= góc CBF= góc CAM=60 độ . Tương tự JFK = 60 độ . Suy ra góc EKF= góc JFK (2)
Từ (1)(2) suy ra EJKF là hình thang cân => EF=JK. Mà JK là đường trung bình tam giác MCD nên JK=CD/2
Do đó EF=1/2CD(ĐPCM)
Toán lớp 7 dùng Ta-lét có vi phạm hk ad ???
A B C H E F M N T Giả sử hình chữ nhật MNEF có bốn đỉnh như trên hình vẽ .
Hạ đường cao AH. Gọi giao điểm giữa MN và AH là T
Để SMNEF lớn nhất thì SNEHT và STHFM lớn nhất
Áp dụng tam giác đồng dạng ta được \(\frac{S_{BEN}}{S_{BHA}}=\frac{BN^2}{BA^2}\) và \(\frac{S_{ANT}}{S_{ABH}}=\frac{AN^2}{AB^2}\)
Suy ra \(S_{NEHT}=S_{ABH}\left(1-\frac{BN^2+NA^2}{AB^2}\right)\)Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được \(BN^2+NA^2\ge\frac{1}{2}\left(BN+NA\right)^2=\frac{1}{2}BC^2\)
Do đó \(S_{NEHT}\le\frac{1}{2}S_{ABH}\)Dấu = xảy ra khi N trung điểm AB.
Tương tự STHFM lớn nhất khi M trung điểm AC
Vậy nếu hai đỉnh N,M lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC thì diện tích hình chữ nhật MNEF lớn nhất
Câu đặc biệt
\(\left(3x-2\right)\left(x+1\right)^2\left(3x+8\right)=-16\)
\(\left(9x^2+18x-16\right)\left(x^2+2x+1\right)=-16\left(1\right)\)
Đặt \(a=x^2+2x+1\)thì \(\left(1\right)\Rightarrow\left(9a-25\right)\cdot a=-16\Leftrightarrow9a^2-25a+16=0\Leftrightarrow9\left(a-\frac{16}{9}\right)\left(a-1\right)=0\)
Nếu \(a=\frac{16}{9}\Rightarrow\left(x+1\right)^2=\frac{16}{9}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\x=-\frac{7}{3}\end{cases}}\)
Nếu \(a=1\Rightarrow\left(x+1\right)^2=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}\)
Vậy \(S=\left\{\frac{1}{3};\frac{7}{3};0;-2\right\}\)
Chuẩn hóa a + b + c = 3
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\frac{a\left(3-a\right)}{9-6a+2a^2}+\frac{b\left(3-b\right)}{9-6b+2b^2}+\frac{c\left(3-c\right)}{9-6c+2c^2}\le\frac{6}{5}\)
Xét BĐT phụ \(\frac{a\left(3-a\right)}{9-6a+2a^2}\le\frac{1+9a}{25}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{9\left(a-1\right)^2\left(2a+1\right)}{25\left(9-6a+2a^2\right)}\ge0\)*đúng*
Áp dụng ta có: \(\frac{a\left(3-a\right)}{9-6a+2a^2}+\frac{b\left(3-b\right)}{9-6b+2b^2}+\frac{c\left(3-c\right)}{9-6c+2c^2}\le\frac{3+9\left(a+b+c\right)}{25}=\frac{6}{5}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Mình nghĩ bạn nên phối hợp với cô Chi như mình để câu hỏi đc đưa vào mục câu hỏi hay và mn có thể biết đc để vào làm hoặc cập nhật nhiều lần câu hỏi để câu hỏi lun ở trên cùng của mục hỏi đáp (để mn biết và vào làm ). Mục đích là có thể giúp nhiều bạn tham gia hơn và quan trọng hơn là lỡ một bạn bt làm nhưng ko bt có câu hỏi này thì lại ko làm như thế thì một vài người sẽ bảo là ng đó ko biết làm . (Đây chỉ là góp ý)
Giai thưởng cuộc thi
Lớp 7:
Hình: hai bạn đều làm cách lớp 8
Số: #nguồn: https://www.slideshare.net/cunbeo/bd-hsgchuyen-de24nguyenlydirichletvoicacbaitoandaisohinhhoc9667
Lớp 8:
Hình: @duyanhbs8a1 (15sp)
Số : @blakcmagic (20sp) @godatakeshidang (20sp)
Câu đặc biệt :
@qad509 (20sp)
@gyiyaynygy (15sp)
@huybip5cc(10sp)
Tớ thiếu giải đặc biệt
@cutedangyeu___ (10sp)
Câu 2 bất đúng với mọi a, b, c là các số thực nhé.
https://artofproblemsolving.com/community/c1101515h2257110_post_2920
Cách khác câu đặc biệt :3
Chuẩn hóa \(a+b+c=1\)
Ta có:\(2a\left(1-a\right)\le\left(\frac{2a+1-a}{2}\right)^2=\frac{\left(a+1\right)^2}{4}\)
Khi đó:\(\left(b+c\right)^2+a^2=1-2a+2a^2=1-2a\left(1-a\right)\ge1-\frac{\left(a+1\right)^2}{4}=\frac{\left(a+3\right)\left(1-a\right)}{4}\)
Khi đó:
\(LHS=\Sigma\frac{a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2+a^2}=\Sigma\frac{a\left(1-a\right)}{1-2a+2a^2}\le\Sigma\frac{4a\left(1-a\right)}{\left(1-a\right)\left(a+3\right)}=\Sigma\frac{4a}{a+3}\)
\(=4\Sigma\left(1-\frac{3}{a+3}\right)\le4\left(3-\frac{27}{a+b+c+9}\right)=\frac{6}{5}\)