Lời giải:

Nếu $\frac{n+6}{15}$ là số nguyên thì $n+6\vdots 15$

$\Rightarrow n+6\vdots 3\Rightarrow n\vdots 3$

$\Rightarrow n+5\not\vdots 3$ (do $5$ không chia hết cho 3)

$\Rightarrow n+5\not\vdots 18$

$\Rightarrow \frac{n+5}{18}\not\in \mathbb{N}$

Vậy không tồn tại $n$ để 2 phân số trên đồng thời là số tự nhiên.

Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 2 phân số đó là các số tự nhiên 

=> hiệu của chúng là số tự nhiên

=> \(\frac{n+6}{15}-\frac{n+5}{15}\)là số tự nhiên

=> \(\frac{n+6-n-5}{15}\)là số tự nhiên

=> \(\frac{1}{15}\)là số tự nhiên (Vô lí)

Vậy...

Bài 4:

Giải:

Theo bài ra ta có: \(\frac{a}{b}\) x \(\frac{14}{15}\) = n và \(\frac{a}{b}\) x \(\frac{21}{10}\) = m; (n ; m ∈ N*) khi đó:

(\(\frac{a}{b}\) x \(\frac{14}{15}\)) : (\(\frac{a}{b}\) x \(\frac{21}{10}\)) = \(\frac{n}{m}\) = \(\frac49\)

Vì (a; b) = 1 nên n = 4 và m = 9

Phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac{a}{b}=\) 4 : \(\frac{14}{15}\) = \(\frac{30}{7}\) \(\)

Kết luận phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac{30}{7}\)

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Bài 5:

Phân số nghịch đảo của phân số: \(\frac{6}{n}\) là: \(\frac{n}{6}\)

Nghịch đảo của phân số \(\frac{11}{n+7}\) là: \(\frac{n+7}{11}\)

Theo bài ra ta có: n ⋮ 6 và (n + 7) ⋮ 11

(n + 84) ⋮ 6 và (n + (7 + 77)) ⋮ 11

(n + 84) ⋮ 6 và (n + 84) ⋮ 11

(n + 84) ∈ BC(6; 11)

6 = 2.3; 11 = 11; BCNN(6; 11) = 2.3.11 = 66

(n + 84) ∈ B(66) = {0; 66; 132; 198;...}

n ∈ {-84; - 18; 48; 114;...}

Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 48

Vậy n = 48

Để \(\frac{n+6}{15}\) là số tự nhiên <=> n + 6 ⋮ 15 => n + 6 = 15k => n = 15k - 6 ( k thuộc N ) (1)

Ta có : \(\frac{3n-2}{n+1}=\frac{3n+3-5}{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)-5}{n+1}=3-\frac{5}{n+1}\)

Để \(3-\frac{5}{n+1}\)là số tự nhiên <=> \(\frac{5}{n+1}\)là số tự nhiên

=> n + 1 là ước của 5 => Ư(5) = { - 5; - 1; 1; 5 }

=> n + 1 = { - 5; - 1; 1; 5 }

=> n = { - 6; - 2; 0; 4 }

Mà theo (1) , n phải có dạng 15k - 6 => n = - 6

Mà theo đề bài n là số tự nhiên nên n không tồn tại

Để n+5/3 là số tự nhiên

=> n+5 chia hết cho 3

=> n chia 3 dư 1

=> n+6 chia 3 dư 7

=> n+6 ko chia hết cho 3

=> n+6/3 ko là số tự nhiên

=> ko tồn tại số tự nhiên n để các phân số n+5/3 và n+6/3 đồng thời là số tự nhiên

Tk mk nha