- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị

- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\) 

hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)

Bước 1: Phân tích \(2^{2025} + 2\)

Ta có:

\(2^{2025} + 2 = 2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\)

Vậy phương trình trở thành:

\(\left(\right. 2 x + y \left.\right) \left(\right. 10 x + 3 y \left.\right) = 2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\)

Bước 2: Quan sát tính chẵn/lẻ

• \(2 x + y\) và \(10 x + 3 y\) là các số tự nhiên.
• Hãy xem chúng có thể chia 2 như thế nào.

Gọi \(a = 2 x + y\), \(b = 10 x + 3 y\). Ta có:

\(a \cdot b = 2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\)

• Nhận xét: \(2^{2024} + 1\) là số lẻ.
• Vậy \(2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\) là số chẵn nhưng không chia hết cho 4.
• Vì \(a \cdot b = 2 \cdot \left(\right. \text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{l}ẻ \left.\right)\), nghĩa là một trong hai số \(a\) hoặc \(b\) là chẵn, số còn lại là lẻ.

Bước 3: Thử phân tích

• Nếu \(a = 2\) → \(b = 2^{2024} + 1\)
  → Từ \(a = 2 = 2 x + y\) → \(y = 2 - 2 x\)
  → \(y \geq 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 0 , 1\)
• 1. \(x = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = 2\)
     → \(b = 10 x + 3 y = 0 + 3 * 2 = 6 \neq 2^{2024} + 1\) → Không được.
  2. \(x = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = 0\)
     → \(b = 10 * 1 + 3 * 0 = 10 \neq 2^{2024} + 1\) → Không được.
• Nếu \(b = 2\) → \(a = 2^{2024} + 1\)
  → \(10 x + 3 y = 2\) → Không có nghiệm tự nhiên vì 10x ≥0, 3y ≥0 mà tổng bằng 2.

Bước 4: Kết luận

• Không thể phân tích \(2^{2025} + 2\) thành tích của hai số tự nhiên nhỏ như \(2 x + y\) và \(10 x + 3 y\).
• Vì \(2^{2024} + 1\) là số lẻ rất lớn, không thể biểu diễn dưới dạng \(2 x + y\) với \(x , y \in \mathbb{N}\).

✅ Vậy không tồn tại cặp số tự nhiên \(\left(\right. x , y \left.\right)\) thỏa mãn phương trình.

Bạn kiểm tra lại đề. Và vào hoc 24 để đăng nhé! 

Làm câu cuối:

TXĐ: \(x\in\)[ 0 ; + vô cùng ) 

\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=0\Leftrightarrow2\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\left(tm\right)\)

Vẽ bảng biến thiên: 

....

Từ bảng biên thiên: 

Hàm số đồng biến trong khoảng ( 0 ; 1/4 ) 

Hàm số nghịch biên trong khoảng ( 1/4 ; + dương vô cùng)

1) TXĐ: \(D=R\)
2) Sự biến thiên
Giới hạn hàm số tại vô cực
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^2-4x+3\right)=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^2-4x+3\right)=+\infty\)
Chiều biến thiên
\(y'\left(x\right)=2x-4\)
\(y'\left(x\right)=0\)\(\Leftrightarrow x=2\)
Bảng biến thiên:
TenAnh1 TenAnh1 B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98)
Nhận xét: hàm số nghịch biên trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\) với \(y_{CT}=-1\).
- Đồ thị hàm số
TenAnh1 TenAnh1 B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) x y O

b)
1) Tập xác định: \(D=R\)
2) Sự biến thiên
\(y'\left(x\right)=-3-2x\);\(y'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}\).
Bảng biến thiên:
TenAnh1 TenAnh1 B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) H = (-4.34, -5.96) H = (-4.34, -5.96) H = (-4.34, -5.96) I = (11.02, -5.96) I = (11.02, -5.96) I = (11.02, -5.96)
Nhận xét:
Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-3}{2}\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-\dfrac{3}{2};+\infty\right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-\dfrac{3}{2}\) với \(y_{CĐ}=\dfrac{13}{4}\).
3) Đồ thi hàm số
Giao Ox: \(y=0\Rightarrow2-3x-x^2=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\\x_2=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A\left(\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2};0\right);B\left(\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2};0\right)\).
Giao Oy: \(x=0\Rightarrow y=2\)
\(C\left(0;2\right)\).
TenAnh1 TenAnh1 B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) B = (-3.8, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) C = (11.56, -6.16) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) D = (-4.16, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) E = (11.2, -5.98) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) F = (-4.2, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) G = (11.16, -5.86) H = (-4.34, -5.96) H = (-4.34, -5.96) H = (-4.34, -5.96) I = (11.02, -5.96) I = (11.02, -5.96) I = (11.02, -5.96) J = (-4.34, -5.84) J = (-4.34, -5.84) J = (-4.34, -5.84) K = (11.02, -5.84) K = (11.02, -5.84) K = (11.02, -5.84) x y A B O

Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d

\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)

Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của  \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của  \(\Delta\)

Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)

                         \(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)