Giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\Rightarrow z^2=a^2-b^2+2abi\)

Vì \(z^2\) thuần ảo nên \(a^2-b^2=0\Rightarrow a^2=b^2\)

\(|z|=\sqrt{2}\rightarrow a^2+b^2=2\)

Từ hai điều trên suy ra \(a^2=b^2=1\Rightarrow a=\pm 1,b=\pm 1\)

Vậy tập hợp số phức \(z\) là \(\left \{ \pm 1+i, 1\pm i \right \}\)

Đó là phương trình mô tả hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí, chuyển động của khí quyển, hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ. Nó được đưa ra bởi Henri Navier và George Stokes cách đây 150 năm.

Các phương trình được áp dụng vào các định luật về chuyển động của Newton vào chất lỏng và chất khí. Tuy nhiên cho đến nay thì các phương trình này vẫn còn là một điều bí ẩn của toán học thậm chí là người ta không thể xác nhận là nó có nghiệm hay không.

Dạng tổng quát của định lý FLT: 𝐴 𝑥 𝑛 + 𝐵 𝑦 𝑛 = 𝐶 𝑧 𝑛 Ax n +By n =Cz n với các điều kiện: 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 A,B,C,x,y,z là số nguyên dương 𝑛 > 2 n>2 (tức là lũy thừa bậc 3 trở lên) 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 A,B,C có cùng bội số chung nhỏ nhất (thường chọn 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 1 A=B=C=1 cho đơn giản) 🔹 Dạng cơ bản nhất (thường gặp trong SGK và toán học cổ điển): 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 x n +y n =z n Đây chính là Định lý cuối cùng của Fermat (Fermat’s Last Theorem). 🔹 Nội dung định lý: Không tồn tại các số nguyên dương 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 x,y,z thỏa mãn 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 x n +y n =z n khi 𝑛 > 2 n>2. Hay nói cách khác: Với 𝑛 = 2 n=2: có nghiệm (ví dụ 3² + 4² = 5²). Với 𝑛 > 2 n>2: không có nghiệm nguyên dương nào. ✅ Vậy, điền dạng định lý FLT đúng là: 𝐴 𝑥 𝑛 + 𝐵 𝑦 𝑛 = 𝐶 𝑧 𝑛 Ax n +By n =Cz n với 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 A,B,C,x,y,z là số nguyên dương, 𝑛 > 2 n>2, và 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 A,B,C có cùng bội số chung nhỏ nhất.

Câu 1:

Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)

Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN

Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d

Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng

Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)

Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)

\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)

Bài 2:

Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I

\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)

Câu 3:

\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)

\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)

Câu 4

\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)

\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)

Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 5:

\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)

Câu 6:

\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)

\(\Rightarrow b=12\)

Câu 7:

\(w=\left(1-i\right)^2z\)

Lấy môđun 2 vế:

\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)

Câu 8:

\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)

\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)

Giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\)

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} |(a-2)+i(b-1)|=\sqrt{10}\\ z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)^2+(b-1)^2=10\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} 2a+b=10\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+(10-2a)^2=25\rightarrow a=5\) hoặc \(a=3\)

\(\Rightarrow b=0;4\)

Vậy \(z\in \left \{5,3+4i\right\}\)

Lời giải:

Ta có: \(w=\frac{z_2}{z_1}+i=\frac{1+mi}{1-2i}+i=\frac{(1+mi)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}+i\)

\(\Leftrightarrow w=\frac{1-2m+i(m+2)}{5}+i=\frac{1-2m+i(m+7)}{5}\)

Do đó, để $w$ là một số thực thì \(1-2m+i(m+7)\) phải là số thực. Điều này xảy ra khi mà \(m+7=0\Leftrightarrow m=-7\)

Vậy........

Giả sử: \(z=x+yi\) \((x;y\in|R)\)

Ta có: \((1+i)z+2\overline{z}=2\)

  <=> \((1+i)(x+yi)+2(x-yi)=2\)

  <=> \(x+yi+xi-y+2x-2yi-2=0\)

  <=> \((3x-y-2)+(x-y)i=0\)

  <=> \(\begin{align} \begin{cases} 3x-y&=2\\ x-y&=0 \end{cases} \end{align}\)

  <=> \(\begin{align} \begin{cases} x&=1\\ y&=1 \end{cases} \end{align}\)

=> \(z=1+i\)

Ta có: \(\omega=z+2+3i \)

               \(=1+i+2+3i\)

               \(=3+4i\)

=> \(|\omega|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

Đặt \(z=a+bi\left(a,b\in R\right)\)

Theo bài ta có : \(\begin{cases}3a-b=2\\a-b=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}\) nên \(z=1+i\)

Khi đó \(\omega=z+2+3i=1+i+2+3i=3+4i\)

Vậy \(\left|\omega\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(\Leftrightarrow3x+8-i=5+4i\)

\(\Leftrightarrow3x=-3+5i\)

\(\Leftrightarrow x=-1+\frac{5}{3}i\)

ta có : \(\overline{Z}=\left(\sqrt{2}+i\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)\)

\(\Leftrightarrow\overline{Z}=\left(1+2\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)=5-\left(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)i\)

\(\Rightarrow Z=5+\left(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)i\)

\(\Rightarrow\) phần ảo của số phức \(Z\) là \(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)