\(\Omega \) là tập tất cả 6 học sinh trong 12 học sinh. Vậy \(n\left( \Omega  \right) = C_{12}^6 = 924\).

Gọi C là biến cố: “Có 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ”. Có \(C_7^3\) cách chọn chọn 3 học sinh nam và \(C_5^3\) cách chọn 3 học sinh nữ. Theo quy tắc nhân, ta có \(C_7^3.C_5^3 = 350\) cách chọn 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ tức là \(n\left( C \right) = 350\).Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{350}}{{924}} \approx 0,3788\).

Không gian mẫu: \(C_{10}^3\)

Số cách chọn sao cho có 2 nữ 1 nam là: \(C_6^2.C_4^1\)

Xác suất: \(P=\dfrac{C_6^2.C_4^1}{C_{10}^3}=\dfrac{1}{2}\)

a: n(omega)=40

n(A)=20

=>P(A)=20/40=1/2

b: B={3;6;..;39}

=>n(B)=13

=>P(B)=13/40

Q(x)=x^5(3x-5)^7

Số hạng chứa x^10 sẽ tương ứng với số hạng chứa x^5 trong (3x-5)^7

SHTQ là: \(C^k_7\cdot\left(3x\right)^{7-k}\cdot\left(-5\right)^k=C^k_7\cdot3^{7-k}\cdot\left(-5\right)^k\cdot x^{7-k}\)

Số hạng chứa x^5 tương ứng với 7-k=5

=>k=2

=>Số hạng cần tìm là: 127575x^10

Chọn 3 cán sự từ 40 học sinh: \(A_{40}^3\) cách

Chọn ban cán sự sao cho có 1 cặp song sinh (nhiều nhất cũng chỉ được 1 cặp thôi): chọn 1 cặp song sinh từ 4 cặp có 4 cách.

Chọn 1 người còn lại từ 38 người có 38 cách

Hoán vị 3 người có 3! cách 

\(\Rightarrow4.38.3!\) cách chọn ban cán sự có 1 cặp song sinh

\(\Rightarrow A_{40}^3-4.38.3!\) cách chọn ban cán sự ko có cặp song sinh nào

Tổng số khả năng có thể xảy ra của phép thử là \(n\left( \Omega  \right) = C_{12}^4\)

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau” là số cách sắp xếp 4 bạn vào 4 tổ có \(4!\) cách

Vậy xác suất của biến cố “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau” là \(P = \frac{{4!}}{{C_{12}^4}} = \frac{8}{{165}}\)

b) Gọi A là biến cố “Bốn bạn thuộc 2 tổ khác nhau”

A xảy ra với 2 trường hợp sau:

TH1: 3 bạn cùng thuộc 1 tổ và 1 bạn thuộc tổ khác có \(C_4^3.C_3^1.C_2^1 = 24\) cách

TH2: cứ 2 bạn cùng thuộc 1 tổ \(C_4^2.C_3^1.C_2^2.C_2^1 = 36\) cách

Suy ra, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(n\left( A \right) = 24 + 36 = 60\)

Vậy xác suất của biến cố “Bốn bạn thuộc 2 tổ khác nhau” là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{60}}{{C_{12}^4}} = \frac{4}{{33}}\)

Không gian mẫu:

Chọn 5 người từ 15 người để lập nhóm 1 có \(C_{15}^5\) cách, chọn 5 người từ 10 người còn lại để lập nhóm 2 có \(C_{10}^5\) cách, tổ 3 có \(C_5^5\) cách

\(\Rightarrow C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5\) cách chọn bất kì

Bây giờ ta tính số cách chia sao cho có ít nhất 1 nhóm không có nữ:

Do 7 nữ luôn chia được vào ít nhất 2 nhóm sao cho mỗi nhóm có 5 người, do đó chỉ có nhiều nhất 1 nhóm (trong số 3 nhóm) chỉ toàn là nam.

Chọn 1 nhóm từ 3 nhóm để xếp 5 nam: \(C_3^1\) cách

Chọn 5 nam từ 8 nam để xếp vào nhóm nói trên: \(C_8^5\) cách

Còn 10 em xếp vào 2 nhóm còn lại: \(C_{10}^5.C_5^5\) cách

\(\Rightarrow C_3^1.C_8^5.C_{10}^5.C_5^5\) cách xếp sao cho có 1 ít nhất nhóm ko có nữ

\(\Rightarrow C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5-C_3^1.C_8^5.C_{10}^5.C_5^5\) cách xếp thỏa mãn

Xác suất: ...

Chọn ngẫu nhiên 5 bạn bất kỳ: \(C^5_{13}\)

Chọn ngẫu nhiên 5 bạn lớp 12A và 12B: \(C^5_{10}\)

Chọn ngẫu nhiên 5 bạn lớp 12B và 12C: \(C^5_7\)

Chọn ngẫu nhiên 5 bạn lớp 12A và 12C: \(C^5_9\)

Vậy số cách chọn là: \(C^5_{13}-C^5_{10}-C^5_7-C^5_9\)

Chọn 5 bạn bất kì: \(C_{13}^5\) cách

Chọn 5 bạn chỉ thuộc 1 lớp (có đúng 1 trường hợp là chọn từ 12A): \(C_6^5\) cách

Chọn 5 bạn gồm cả 12A và 12B: \(C_{10}^5-C_6^5\) cách

Chọn 5 bạn gồm cả 12A và 12C: \(C_9^5-C_6^5\) cách

Chọn 5 bạn gồm cả 12B và 12C: \(C_7^5\) cách

Vậy số cách chọn 5 bạn có đủ 3 lớp là:

\(C_{13}^5-\left(C_{10}^5+C_9^5+C_7^5-2C_6^5\right)-C_6^5\)

Xếp hàng cho 7 em học sinh: \(7!\) cách

7 em học sinh tạo thành 8 khe trống, xếp 3 thầy cô giáo vào 8 khe trống đó: \(A_8^3\) cách

Vậy có \(7!.A_8^3\) cách xếp sao cho các thầy cô không đứng cạnh nhau