Lời giải:

Ta có: \(n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)

CM \(n^5-n\vdots 3\)

Ta thấy \(n,n+1,n-1\) là ba số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $3$

\(\Rightarrow n(n-1)(n+1)\vdots 3\Leftrightarrow n^5-n\vdots 3(1)\)

CM \(n^5-n\vdots 5\)

+) \(n\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 1\pmod 5\Rightarrow n-1\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 2\pmod 5\Rightarrow n^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 3\pmod 5\Rightarrow n^2\equiv 9\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5\)

+) \(n\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n+1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n^5-n=n(n+1)(n-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Do đó, \(n^5-n\vdots 5(2)\)

CM \(n^5-n\vdots 16\)

Vì $n$ lẻ nên đặt \(n=4k+1;4k+3\) Khi đó:\(\left[{}\begin{matrix}n^2=16k^2+1+8k\\n^2=16k^2+9+24k\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(n^2\equiv 1\pmod 8\)

\(\Rightarrow n^2-1\vdots 8\)

Mà $n$ lẻ nên $n^2+1\vdots 2$

Do đó \(n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 16(3)\)

Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow n^5-n\vdots (16.3.5=240)\) (đpcm)

\(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\left(n\in N\right)\)

\(=25.5^n+26.5^n+8.64^n\)

\(=5^n\left(25+26\right)+8.64^n\)

\(=5^n\left(59-8\right)+8.64^n\)

\(=59.5^n+8\left(64^n-5^n\right)\)

\(=59.5^n+8\left(64-5\right)\left(64^{n-1}+64^{n-2}.5+...\right)\)

\(=59.5^n+8.59\left(64^{n-1}+64^{n-2}.5+...\right)\)

\(=59\left[5^n+8\left(64^{n-1}+64^{n-2}.5+...\right)\right]⋮59\)

Vậy \(A⋮59\)\(\forall n\in N\)(đpcm)

dễ mà tự làm đi

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

\(\frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}=\frac{n^2+n+1}{n^4+2n^2+1-n^2}=\frac{n^2+n+1}{\left(n^2+1\right)^2-n^2}\)

\(=\frac{n^2+n+1}{\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\frac{1}{n^2-n+1}\)

Vậy \(\frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}\) không là phân số tối giản với mọi \(n\inℕ^∗\)

phân tích mẫu có chứa tử , rút gọn nên ko tối giản thôi mà.

+, Nếu n chia 5 dư +-1 thì :

n^2 chia 5 dư 1 => n^2+4 chia hết cho 5

Mà n^2+4 > 5 => n^2+4 là hợp số

+, Nếu n chia 5 dư +-3 thì :

n^2 chia 5 dư 4 => n^2+16 chia hết cho 5

Mà n^2+16 > 5 => n^2+16 lừ hợp số 

=> để n^2+4 và n^2+16 đều là số nguyên tố thì n chia hết cho 5

Tk mk nha